Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Соверше́нная дизъюнкти́вная норма́льная фо́рма (СДНФ) — одна из форм представления функции алгебры логики (булевой функции) в виде логического выражения. Представляет собой частный случай ДНФ, удовлетворяющий следующим трём условиям[1]:

  • в ней нет одинаковых слагаемых (элементарных конъюнкций);
  • в каждом слагаемом нет повторяющихся переменных;
  • каждое слагаемое содержит все переменные, от которых зависит булева функция (каждая переменная может входить в слагаемое либо в прямой, либо в инверсной форме).

Любая булева формула, не являющаяся тождественно ложной, может быть приведена к СДНФ, причём единственным образом, то есть для любой выполнимой функции алгебры логики существует своя СДНФ, причём единственная[2].

Краткая теория

ДНФ представляет собой «сумму произведений», причём в качестве операции «умножения» выступает операция И (конъюнкция), а в качестве операции «сложения» — операция ИЛИ (дизъюнкция). Сомножителями являются различные переменные, причём они могут входить в произведение как в прямом, так и в инверсном виде.

Ниже приведён пример ДНФ:

В составе ДНФ, вообще говоря, могут присутствовать повторяющиеся слагаемые, а в составе каждого слагаемого — повторяющиеся сомножители, например:

С математической точки зрения такое клонирование бессмысленно, так как в булевой алгебре умножение любого выражения на само себя и сложение выражения с самим собой не меняет результата (), а сложение выражения с собственной инверсией и умножение на собственную инверсию даёт константы (). В последнем выражении можно удалить повторяющиеся слагаемые и сомножители следующим образом:

По этой причине ДНФ с повторяющимися слагаемыми и сомножителями используются обычно только со вспомогательными целями, например, при аналитическом преобразовании выражений.

СДНФ является канонической формой представления булевой функции в виде ДНФ, в которой повторы слагаемых и сомножителей запрещены. Кроме того, в каждом слагаемом должны присутствовать все переменные (в прямой или инверсной форме).

Ниже приведён пример СДНФ:

Значение СДНФ состоит в том, что

  • для каждой конкретной функции её СДНФ единственна и однозначна;
  • СДНФ имеет однозначное соответствие с таблицей истинности функции. Каждое слагаемое СДНФ соответствует одной строке в таблице истинности, где функция равна единице. Таким образом, число слагаемых в СДНФ равно числу единичных значений, которые принимает булева функция в своей области определения;
  • СДНФ элементарно получается из таблицы истинноcти функции;
  • СДНФ удобна в качестве базового выражения для минимизации функции, в ней особенно просто находятся слагаемые, пригодные для «склейки».

Пример нахождения СДНФ

Для того, чтобы получить СДНФ функции, требуется составить её таблицу истинности. К примеру, возьмём одну из таблиц истинности:

0001
0011
0101
0110
1000
1010
1101
1110

В ячейках результата отмечаются лишь те комбинации, которые приводят логическое выражение в состояние единицы. Далее рассматриваются значения переменных, при которых функция равна 1. Если значение переменной равно 0, то она записывается с инверсией. Если значение переменной равно 1, то без инверсии.

Первая строка содержит 1 в указанном поле. Отмечаются значения всех трёх переменных, это:

Нулевые значения — тут все переменные представлены нулями — записываются в конечном выражении инверсией этой переменной. Первый член СДНФ рассматриваемой функции выглядит так:

Переменные второго члена:

в этом случае будет представлен без инверсии:

Таким образом анализируются все ячейки . Совершенная ДНФ этой функции будет дизъюнкцией всех полученных членов (элементарных конъюнкций).

Совершенная ДНФ этой функции:

См. также

Примечания

  1. Виноградова М.С., Ткачев С.Б. Булевы функции. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. — 32 с.
  2. Математическая логика. — Пермь: Изд-во ПГТУ, 1998. — 17 с.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.