Предел вдоль фильтра

Пусть ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$. Число ${\displaystyle A\in \mathbb {R} }$ называется пределом функции ${\displaystyle f}$ по базе ${\displaystyle {\mathfrak {B}},}$ если

для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$ такое, что для всех ${\displaystyle x\in B}$ выполнено неравенство ${\displaystyle |f(x)-A|<\varepsilon .}$

Обозначение предела по базе: ${\displaystyle \lim \limits _{\mathfrak {B}}f(x)=A.}$

Пусть ${\displaystyle (M,\rho )}$ — метрическое пространство и ${\displaystyle f:X\to M}$. Точка ${\displaystyle a\in M}$ называется пределом функции ${\displaystyle f}$ по базе ${\displaystyle {\mathfrak {B}},}$ если

для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$ такое, что для всех ${\displaystyle x\in B}$ выполнено неравенство ${\displaystyle \rho (f(x),a)<\varepsilon .}$

Обозначение: ${\displaystyle \lim \limits _{\mathfrak {B}}f(x)=a.}$

Пусть ${\displaystyle (M,{\mathcal {T}})}$ — топологическое пространство и ${\displaystyle f\colon X\to M}$. Точка ${\displaystyle a\in M}$ называется пределом функции ${\displaystyle f}$ по базе ${\displaystyle {\mathfrak {B}},}$ если

для любой окрестности ${\displaystyle V}$ точки ${\displaystyle a}$ существует ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$ такое, что ${\displaystyle f(B)\subset V}$, то есть для всех ${\displaystyle x\in B}$ выполняется включение ${\displaystyle f(x)\in V}$.

Обозначение: ${\displaystyle \lim \limits _{\mathfrak {B}}f(x)=a.}$

Замечание. Последнее «равенство» корректно использовать лишь в случаях, когда пространство ${\displaystyle (M,{\mathcal {T}})}$ — хаусдорфово. Пределом функции со значениями в нехаусдорфовом пространстве могут быть сразу несколько различных точек (и, таким образом, нарушается теорема о единственности предела).

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ — топологическое пространство, и ${\displaystyle M\subset X.}$ Пусть ${\displaystyle a\in M'.}$ Тогда система множеств

${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\left\{M\cap {\dot {U}}\equiv M\cap U\setminus \{a\}\mid a\in U\in {\mathcal {T}}\right\}}$

является базисом фильтра множества ${\displaystyle M}$ и обозначается ${\displaystyle M\ni x\to a}$ или просто ${\displaystyle x\to a.}$ Предел функции по базе ${\displaystyle x\to a}$ множества ${\displaystyle M}$ называется пределом функции в точке ${\displaystyle a}$ и обозначается записью ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a}f(x)}$.

• Пусть ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ,}$ и ${\displaystyle a\in {\bigl (}M\cap (a,\infty ){\bigr )}'.}$ Тогда система множеств

${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{(a,a+\delta )\cap M\mid \delta >0\}}$

является базисом фильтра и обозначается ${\displaystyle x\to a+}$ или ${\displaystyle x\to a+0.}$ Предел ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a+}f(x)}$ называется правосторонним пределом функции ${\displaystyle f}$ при ${\displaystyle x}$ стремящемся к ${\displaystyle a.}$

• Пусть ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ,}$ и ${\displaystyle a\in {\bigl (}M\cap (-\infty ,a){\bigr )}'.}$ Тогда система множеств

${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{(a-\delta ,a)\cap M\mid \delta >0\}}$

является базисом фильтра и обозначается ${\displaystyle x\to a-}$ или ${\displaystyle x\to a-0.}$ Предел ${\displaystyle \lim \limits _{x\to a-}f(x)}$ называется левосторонним пределом функции ${\displaystyle f}$ при ${\displaystyle x}$ стремящемся к ${\displaystyle a.}$

• Пусть ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ,}$ и ${\displaystyle \sup M=\infty .}$ Тогда система множеств

${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{M\cap (T,\infty )\mid T\in \mathbb {R} \}.}$

является базисом фильтра и обозначается ${\displaystyle x\to \infty }$ или ${\displaystyle x\to +\infty .}$ Предел ${\displaystyle \lim \limits _{x\to \infty }f(x)}$ называется пределом функции ${\displaystyle f}$ при ${\displaystyle x}$ стремящемся к бесконечности.

• Пусть ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ,}$ и ${\displaystyle \inf M=-\infty .}$ Тогда система множеств

${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{M\cap (-\infty ,T)\mid T\in \mathbb {R} \}.}$

является базисом фильтра и обозначается ${\displaystyle x\to -\infty .}$ Предел ${\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }f(x)}$ называется пределом функции ${\displaystyle f}$ при ${\displaystyle x}$ стремящемся к минус-бесконечности.

Система множеств ${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{B_{n}\}_{n=1}^{\infty },}$ где

${\displaystyle B_{n}=\{n,n+1,n+2,\ldots \}\quad n\in \mathbb {N} ,}$

является базисом фильтра и обозначается ${\displaystyle n\to \infty .}$ Функция ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \mapsto f_{n}\in \mathbb {R} }$ называется числовой последовательностью, а предел ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}}$ пределом этой последовательности.

Пусть ${\displaystyle f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}$ Назовём размеченным разбиением отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ коллекцию точек ${\displaystyle T=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b,\;x_{n-1}\leqslant \xi _{n}\leqslant x_{n}\;n\in \mathbb {N} \}.}$ Назовём диаметром разбиения ${\displaystyle T}$ число ${\displaystyle d(T)=\max \limits _{i\in \{1,\ldots ,n\}}(x_{i}-x_{i-1}).}$ Тогда система множеств

${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{T\mid d(T)<\delta ,\delta >0\}}$

является базисом фильтра в пространстве ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ всех размеченных разбиений ${\displaystyle [a,b].}$ Определим функцию ${\displaystyle S_{f}:{\mathfrak {T}}\to \mathbb {R} }$ равенством

${\displaystyle S_{f}(T)=\sum \limits _{i=1}^{n}f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})\quad T\in {\mathfrak {T}}.}$

Тогда предел ${\displaystyle \lim \limits _{\mathfrak {B}}S_{f}(T)}$ называется интегралом Римана функции ${\displaystyle f}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b].}$