Интеграл Римана

Риманова сумма (суммарная площадь прямоугольников) в пределе, при измельчении разбиения, дает площадь подграфика.

Интеграл Римана есть формализация понятия площади под графиком. Разобьём отрезок, над которым мы ищем площадь, на конечное число подотрезков. На каждом из подотрезков выберем некоторую точку графика и построим вертикальный прямоугольник с подотрезком в качестве основания до той самой точки графика. Рассмотрим фигуру, полученную из таких прямоугольников. Площадь S такой фигуры при конкретном разбиении на отрезки длинами ${\displaystyle \Delta x_{i}}$ будет задаваться суммой:

${\displaystyle \sigma =\sum _{i}f(x_{i})\Delta x_{i}}$

Интуитивно понятно, что если мы будем уменьшать длины этих подотрезков, то площадь такой фигуры будет всё больше и больше приближаться к площади под графиком. Именно это замечание и приводит к определению интеграла Римана.[3]

Функция, для которой интеграл Римана в пределах от ${\displaystyle a}$ до ${\displaystyle b}$ существует (если предел равен бесконечности, то считается, что интеграл не существует), называется интегрируемой по Риману на отрезке [a;b].[11] Множество функций ${\displaystyle f:[a;b]\rightarrow \mathbb {R} }$, интегрируемых на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$, называется множеством интегрируемых на ${\displaystyle [a;b]}$ функций и обозначается ${\displaystyle R[a;b]}$.

Основным и наиболее удобным условием интегрируемости является критерий Лебега: множество интегрируемых на отрезке функций это в точности множество ограниченных и непрерывных почти всюду на этом отрезке функций. Этот критерий позволяет практически сразу получить большинство достаточных условий интегриремости. Однако доказательство данного утверждения довольно сложное, из-за чего при методическом изложении его часто опускают и основывают дальнейшие доказательства на критерии Римана. Доказательства существования интеграла Римана на основе критерия Римана получаются сложнее, чем на основе критерия Лебега.

Дальнейшие свойства выполняются только если соответствующие интегралы существуют.

• Необходимое условие интегрируемости. Интегрируемая на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$ функция ограничена на нём.[33]
• Неотрицательность. Для неотрицательной на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$ функции, ${\displaystyle a<b}$

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0}$[34]

• Положительность. Для неотрицательной и непрерывной на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$ функции, ${\displaystyle a<b}$, которая хотя бы в одной точке отлична от нуля

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx>0}$[35]

• Линейность.

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx}$[27]

Для существования всех этих трёх интегралов достаточно существования двух из них.

Для любого ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}\lambda f(x)\,dx=\lambda \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$[27]

Из существования правого интеграла следует существование левого. Если ${\displaystyle \lambda \neq 0}$, то из существования левого следует существование правого.

• Аддитивность. Для произвольных чисел ${\displaystyle a,b,c}$

  ${\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx}$[32]

Для существования всех этих трёх интегралов достаточно либо существования интеграла по большему отрезку, либо по двум меньшим.

• Монотонность. Пусть ${\displaystyle a<b}$ и ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ на ${\displaystyle [a;b]}$. Тогда

  ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$[34]

• Оценка. Пусть ${\displaystyle a<b}$, ${\displaystyle m=\inf _{x\in [a;b]}f(x)}$, ${\displaystyle M=\sup _{x\in [a;b]}f(x)}$. Тогда

${\displaystyle m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a)}$[36]

• Оценка модуля. Пусть ${\displaystyle a<b}$.

  ${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx}$[29]

Для существования всех этих двух интегралов достаточно существования левого интеграла.

Существует вариация этого свойства на случай произвольных ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \left|\int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx\right|}$[37]

• Теорема о среднем. Для лучшего понимания сначала сформулируем теорему о среднем в несколько упрощённой формулировке.

Средним значением функции ${\displaystyle f}$ на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$ называется ${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$.

Теорема о среднем гласит: непрерывная на отрезке функция в некоторой точке этого отрезка принимает своё среднее значение.

${\displaystyle \exists c\in [a;b]:f(c)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Можно записать это условие без деления на ${\displaystyle b-a}$, чтобы покрыть случай, когда ${\displaystyle a=b}$.

${\displaystyle \exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a)}$

В такой записи теорема о среднем верна для любых значений ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.

На деле же верно куда более общее условие. Пусть ${\displaystyle f}$ интегрируема на ${\displaystyle [a;b]}$, ${\displaystyle m=\inf _{x\in [a;b]}f(x)}$, ${\displaystyle M=\sup _{x\in [a;b]}f(x)}$. Тогда

${\displaystyle \exists \mu \in [m;M]:\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\mu (b-a)}$[36]

Эту теорему также иногда называют интегральной теоремой о среднем для отличия от следующей.[38]

• Обобщённая теорема о среднем. Пусть функция ${\displaystyle f}$ интегрируема на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$, ${\displaystyle m=\inf _{x\in [a;b]}f(x)}$, ${\displaystyle M=\sup _{x\in [a;b]}f(x)}$, а функция ${\displaystyle g}$ интегрируема и знакопостоянна. Тогда

${\displaystyle \exists \mu \in [m;M]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=\mu \int _{a}^{b}g(x)\,dx}$[39]

Теорема вновь верна для любых ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.

Для этой теоремы можно также привести вариацию в случае непрерывности ${\displaystyle f}$.[40]

${\displaystyle \exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)\,dx}$

Иногда теоремой о среднем называют именно эту теорему, а не предыдущую. Также, для отличия от последующей, эту теорему называют первой теоремой о среднем.[41]

• Вторая теорема о среднем. Пусть функция ${\displaystyle f}$ интегрируема на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$, а функция ${\displaystyle g}$ монотонна. Тогда

${\displaystyle \exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(a)\int _{a}^{c}f(x)\,dx+g(b)\int _{c}^{b}f(x)\,dx}$[42]

У второй теоремы о среднем есть вариации для разных видов монотонности ${\displaystyle g}$. Пусть функция ${\displaystyle f}$ интегрируема на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$, а функция ${\displaystyle g}$ неотрицательна и не возрастает. Тогда

${\displaystyle \exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(a)\int _{a}^{c}f(x)\,dx}$[43]

Пусть функция ${\displaystyle f}$ интегрируема на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$, а функция ${\displaystyle g}$ неотрицательна и не убывает. Тогда

${\displaystyle \exists c\in [a;b]:\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=g(b)\int _{c}^{b}f(x)\,dx}$[43]

• Независимость от множеств меры нуль. Если две функции интегрируемы на отрезке и равны на нём почти всюду, то их интегралы также равны. Таким образом, значение интеграла Римана не зависит от значения функции на множестве меры нуль. Однако его существование зависит: к примеру ноль и функция Дирихле равны почти всюду, однако интеграл от первой функции существует, а от второй нет.

Функция ${\displaystyle h(x)}$, определяемая при помощи интеграла следующим образом

${\displaystyle h(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$

называется интегралом с верхним переменным пределом.[38]

Свойства:

• Область определения ${\displaystyle \int _{a}^{x}f(t)\,dt}$ есть промежуток, в который входит точка ${\displaystyle a}$
• Интеграл с верхним переменным пределом ${\displaystyle \int _{a}^{x}f(t)\,dt}$ непрерывен.[38]
• Более того, интеграл с верхним переменном пределом является Липшицевой функцией
• В точках ${\displaystyle x}$, в которых ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна, интеграл с верхним переменным пределом ${\displaystyle \int _{a}^{x}f(t)\,dt}$ дифференцируем и значение его производной равно ${\displaystyle f(x)}$.[44]

Последнее свойство позволяет с помощью интеграла с верхним переменным пределом записать первообразную функции. Таким образом, оно связывает неопределённый интеграл и определённый следующим соотношением:

${\displaystyle \int f(x)\,dx=\int _{a}^{x}f(t)\,dt+C}$

Это равенство также верно в случае если ${\displaystyle f}$ интегрируема и имеет первообразную на ${\displaystyle [a;b]}$.[45]

Для вычисления интегралов Римана в простейших случаях используется формула Ньютона-Лейбница, которая является следствием свойств интеграла с верхним переменным пределом.

Формула Ньютона-Лейбница. Пусть ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на ${\displaystyle [a;b]}$, ${\displaystyle F(x)}$ её первообразная на ${\displaystyle [a;b]}$, ${\displaystyle a\neq b}$. Тогда

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}$[46]

При практическом вычислении также используют следующие приёмы:

• Замена переменной. Пусть требуется вычислить интеграл

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Выполняется замена ${\displaystyle x=\varphi (t)}$, после чего пересчитываются пределы интегрирования и дифференциал:

${\displaystyle a=\varphi (\alpha ),b=\varphi (\beta ),dx=\varphi '(t)\,dt}$

Тогда

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t))\varphi '(t)\,dt}$

Для того, чтобы такая замена была законной, требуется непрерывность ${\displaystyle f}$ и непрерывная дифференцируемость и строгая монотонность ${\displaystyle \varphi }$.[47]

• Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям состоит в применении следующей формулы:

${\displaystyle \int _{a}^{b}u\,dv=(uv){\bigr |}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,du}$

Формула законна, если ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ непрерывно-дифференцируемы.[48]

На самом деле многие из указанных условий для формулы Ньютона-Лейбница и перечисленных двух приёмах избыточны и их можно существенно ослабить.[49][48][50] Однако такие условия будут более сложными, к тому же, для большинства практически встречающихся случаев указанных условий достаточно. Более того, в приведёном виде эти условия также гарантируют существование всех интегралов, что позволяет ограничиться одной лишь проверкой этих простых условий перед применением соответствующих методов.

• Интегрирование нечётной функции. Пусть ${\displaystyle f}$ нечётная интегрируемая на отрезке ${\displaystyle [-a;a]}$ функция. Тогда

${\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)\,dx=0}$[51]

• Интегрирование чётной функции. Пусть ${\displaystyle f}$ чётная интегрируемая на отрезке ${\displaystyle [-a;a]}$ функция. Тогда

${\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int _{0}^{a}f(x)\,dx}$[51]

• Интегрирование периодической функции. Пусть ${\displaystyle f}$ имеет период ${\displaystyle T}$ и интегрируема на ${\displaystyle [0;T]}$. Тогда она интегрируема на любом отрезке и для любого ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \int _{a}^{a+T}f(x)\,dx=\int _{0}^{T}f(x)\,dx}$[51]

Приведенное выше определение интеграла дано Коши[52], оно применялось только для непрерывных функций.

Риман в 1854 году (опубликовано в 1868 году[2], на русском языке впервые в 1914 году[53][54]) дал это же определение без предположения непрерывности. Современный вид теории Римана придал Дарбу (1879).

• Интеграл Римана от частично заданных функций. Иногда имеет смысл определить интеграл Римана для функций, частично заданных на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$. Он определяется, если при любом достроении функции до полностью заданной её интеграл равен одному и тому же значению. В этом случае это значение считается интегралом Римана от частично заданной функции. К примеру: можно рассматривать функции, не определённые в конечном числе точек. Если при этом во всех остальных точках они непрерывны почти всюду, то любое достроение до полностью заданной функции интегрируемо, и их значения равны, так как значение интеграла не зависит от значения на множестве меры нуль. Для таких функций даже существует обобщение формулы Ньютона-Лейбница.[55] Однако уже даже для счётного множества это выполняется не всегда. Возьмём функцию ${\displaystyle 0}$, заданную только на множестве иррациональных чисел. Её можно разными путями доопределить до ${\displaystyle 0}$ и до функции Дирихле. В одном случая она интегрируема, в другом нет. С другой стороны, если рассмотреть ${\displaystyle 0}$, неопределённый на множестве Кантора, то любое достроение такой функции будет интегрируемо.
• Интеграл Римана от векторнозначных функций. Интеграл Римана можно определить для функций, со значениями в любом топологическом векторном пространстве над ${\displaystyle \mathbb {R} }$. К примеру можно рассмотреть интеграл от вектор-функций (функции из ${\displaystyle \mathbb {R} }$ со значениями в евклидовом пространстве). Такие функции интегрируются покоординатно, из-за чего практически все свойства переносятся и на них тоже.[56]
• Несобственный интеграл Римана. Иногда возникает потребность в рассмотрении интеграла на бесконечном промежутке или от неограниченной функции. Несобственный интеграл это обобщение интеграла Римана на такие случаи. Для бесконечных промежутков несобственный интеграл определяется так:

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx=\lim _{y\to +\infty }\int _{a}^{y}f(x)\,dx}$

Для конечных промежутков с неограниченной функцией в окрестности верхнего предела определяется так:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{y\to b-}\int _{a}^{y}f(x)\,dx}$

Остальные случаи определяются аналогично. Если встречаются бесконечные точки разрыва внутри промежутка или оба предела бесконечны, то интеграл по аддитивности разбивается на несколько.

Ключевая особенность такого определения в том, что для интегрируемых функций такие пределы совпадают с обычными (называемыми собственными для отличия от несобственных) интегралами. Таким образом, несобственный интеграл Римана представляет собой именно обобщение собственного.

• Кратный интеграл Римана. Кратный интеграл берётся от функций многих переменных по некоторому подмножеству ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Рассматриваются разбиения этих множеств на измеримые по Жордану подмножества. В них отмечаются точки и составляются интегральные суммы (вместо длин интервалов берутся меры Жордана соответствующих подмножеств). Диаметром подмножества такого разбиения считается супремум всех расстояний между точками. Диаметром самого разбиения — минимальный диаметр разбиений подмножеств. Предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиений к нулю и называется кратным интегралом.

Многие свойства кратных интегралов совпадают с обычными, но некоторые нет (к примеру, формула замены переменных). Вопреки распространённому заблуждению, точным обобщением интеграла Римана не являются, поскольку кратный интеграл берётся по неориентированному множеству, а обычный требует задания направления у отрезка.

• Криволинейный интеграл. Аналогично кратному интегралу, берётся от функции нескольких переменных, однако уже по кривой. Кривая также разбивается на подкривые, значения функции умножаются на длины соответствующих подкривых и суммируются между собой.
• Поверхностный интеграл. Практически аналогично криволинейному интегралу, с тем отличием, что берётся по поверхности, и значения функций в отмеченных точках умножаются на площади соответствующих участков.
• Интеграл Лебега. Альтернативный подход к определению интеграла. Здесь вместо разбиения области определения интегрируемой функции разбивается область значений, после чего точки разбиения умножаются на меры прообразов этих сегментов и суммируются между собой. Такие суммы при увеличении верхней точки разбиения, уменьшения нижней и стремлении его диаметра к нулю стремятся к интегралу Лебега.

• Интеграл Лебега и равносильные ему интеграл Даниэля, интеграл Юнга
• Интеграл Стилтьеса
• Кратный интеграл Римана
• Несобственный интеграл

• В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ. Начальный курс. — 2-е, переработанное. — М.: Издательство Московского Университета, 1985. — Т. 1. — 660 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах. — Изд. 8-е. — М.: Наука, 2003. — Т. 2. — 864 с.
• Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу / Под ред. В. А. Садовничего. — 1-е изд. — М.: Высшая школа, 1999. — 695 с. — ISBN 5-06-003596-4.
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х томах. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной.. — М.: Дрофа, 2003. — 704 с.
• Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С., Мордкович А.Г. Математический анализ. Интегральное исчисление. — М.: Просвящение, 1979. — 176 с.
• Cauchy A. L. Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites. — Turin, 1831.
• Riemann В. Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. — 1868. — Vol. 13. — P. 87-132.
• Риман Б. О возможности выражения функции при помощи тригонометрического ряда // Разложение функций в тригонометрические ряды / Лежен-Дирикле, Риманн, Липшиц; Пер. Г. А. Грузинцева и С. Н. Бернштейна. — Харьков: Харьковское математическое общество, 1914. — (Харьковская математическая библиотека. Серия В; № 2).

• Таблицы неопределенных и определенных интегралов — EqWorld: Мир математических уравнений.
• Строгое определение интеграла Римана.