Список интегралов от экспоненциальных функций

Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от экспоненциальной функции. В списке везде опущена константа интегрирования.

Неопределённые интегралы

\int e^{cx}\;dx={\frac {1}{c}}e^{cx}

\int a^{cx}\;dx={\frac {1}{c\ln a}}a^{cx},

для

a>0,a\neq 1

\int xe^{cx}\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}}}(cx-1)

\int x^{2}e^{cx}\;dx=e^{cx}\left({\frac {x^{2}}{c}}-{\frac {2x}{c^{2}}}+{\frac {2}{c^{3}}}\right)

\int x^{n}e^{cx}\;dx={\frac {1}{c}}x^{n}e^{cx}-{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}e^{cx}dx

\int {\frac {e^{cx}\;dx}{x}}=\ln |x|+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(cx)^{i}}{i\cdot i!}}

\int {\frac {e^{cx}\;dx}{x^{n}}}={\frac {1}{n-1}}\left(-{\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}+c\int {\frac {e^{cx}dx}{x^{n-1}}}\right),

для

n\neq 1

\int e^{cx}\ln x\;dx={\frac {1}{c}}e^{cx}\ln |x|-\operatorname {Ei} \,(cx)

\int e^{cx}\sin bx\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\sin bx-b\cos bx)

\int e^{cx}\cos bx\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\cos bx+b\sin bx)

\int e^{cx}\sin ^{n}x\;dx={\frac {e^{cx}\sin ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\sin x-n\cos x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\sin ^{n-2}x\;dx

\int e^{cx}\cos ^{n}x\;dx={\frac {e^{cx}\cos ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\cos x+n\sin x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\cos ^{n-2}x\;dx

\int xe^{cx^{2}}\;dx={\frac {1}{2c}}\;e^{cx^{2}}

\int {1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}}\;dx={\frac {1}{2}}(1+{\mbox{erf}}\,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}),

\int \limits _{0}^{1}e^{x\cdot \ln a+(1-x)\cdot \ln b}\;\mathrm {d} x=\int \limits _{0}^{1}\left({\frac {a}{b}}\right)^{x}\cdot b\;\mathrm {d} x=\int \limits _{0}^{1}a^{x}\cdot b^{1-x}\;\mathrm {d} x={\frac {a-b}{\ln a-\ln b}}

для

a>0,\ b>0,\ a\neq b

, что есть логарифмическое среднее

\int \limits _{0}^{\infty }e^{-ax}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}

\int \limits _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi  \over a}}\quad (a>0)

\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\pi  \over a}}\quad (a>0)

\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}e^{-2bx}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\frac {b^{2}}{a}}\quad (a>0)

\int \limits _{-\infty }^{\infty }xe^{-a(x-b)^{2}}\,\mathrm {d} x=b{\sqrt {\pi  \over a}}\quad (a>0)

\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi  \over a^{3}}}\quad (a>0)

\int \limits _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)/a^{\frac {n+1}{2}}&(n>-1,a>0)\\{\frac {(2k-1)!!}{2^{k+1}a^{k}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}&(n=2k,k\;{\text{целое}},a>0)\\{\frac {k!}{2a^{k+1}}}&(n=2k+1,k\;{\text{целое}},a>0)\end{cases}}

\int \limits _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {\Gamma (n+1)}{a^{n+1}}}&(n>-1,a>0)\\{\frac {n!}{a^{n+1}}}&(n=0,1,2,\ldots ,a>0)\\\end{cases}}

\int \limits _{0}^{\infty }e^{-ax}\sin bx\,\mathrm {d} x={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)

\int \limits _{0}^{\infty }e^{-ax}\cos bx\,\mathrm {d} x={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)

\int \limits _{0}^{\infty }xe^{-ax}\sin bx\,\mathrm {d} x={\frac {2ab}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)

\int \limits _{0}^{\infty }xe^{-ax}\cos bx\,\mathrm {d} x={\frac {a^{2}-b^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)

\int \limits _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)

(

I_{0}

— модифицированная функция Бесселя первого рода)

\int \limits _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)

\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,dx,=\Gamma (s)\zeta (s)

Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 4-е изд. — М.: Наука, 1963. — ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
Двайт Г. Б. Таблицы интегралов СПб: Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева, 1995. — 176 с. — ISBN 5-85529-029-8. // EqWorld
D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st ed., 2002. ISBN 1-58488-291-3.
M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1964. ISBN 0-486-61272-4
Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.