Дзета-функция Римана
Дзе́та-фу́нкция Ри́мана — функция комплексного переменного , при , определяемая с помощью ряда Дирихле:

В комплексной полуплоскости этот ряд сходится, является аналитической функцией от и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, за исключением особой точки .
Дзета-функция Римана играет очень важную роль в аналитической теории чисел, имеет приложения в теоретической физике, статистике, теории вероятностей.
В частности, если будет доказана или опровергнута до сих пор ни доказанная, ни опровергнутая гипотеза Римана о положении всех нетривиальных нулей дзета-функции на прямой комплексной плоскости , то многие важные теоремы о простых числах, опирающиеся в доказательстве на гипотезу Римана, станут либо истинными, либо ложными.

Тождество Эйлера
В области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)

Идея доказательства использует лишь простую алгебру, доступную прилежному школьнику. Изначально этим способом Эйлер вывел формулу. Есть свойство решета Эратосфена, из которого мы можем извлечь пользу:
Вычитая второе из первого, мы удаляем все элементы с делителем 2:
Повторяем для следующего:
Опять вычитаем, получаем:
где удалены все элементы с делителями 2 и/или 3.
Как можно увидеть, правая сторона просеивается через решето. Бесконечно повторяя, получаем:
Поделим обе стороны на всё, кроме , получим:
что можно записать короче как бесконечное произведение по всем простым p:
Чтобы сделать доказательство строгим, необходимо потребовать только лишь, чтобы, когда , просеиваемая правая часть приближалась к 1, что немедленно следует из сходимости ряда Дирихле для .
Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.
Свойства

- Если взять асимптотическое разложение при частичных сумм вида
- ,
справедливую для , она же останется верной и для всех , кроме тех, для которых (это тривиальные корни дзета-функции). Из этого можно получить следующие формулы для :
- , при , кроме ;
- , при , кроме или ;
- , при , кроме , или и т. д.
- Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
- , где — число Бернулли.
- В частности, (ряд обратных квадратов),
- Кроме того, получено значение , где — полигамма-функция;
- Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока (2019 г.) доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978), а также то, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы ещё одно иррациональное[1].
- При
- , где — функция Мёбиуса
- , где — функция Лиувиля
- , где — число делителей числа
- , где — число простых делителей числа
- При
- , где — функция Эйлера
- имеет в точке простой полюс с вычетом, равным 1.
- Дзета-функция при удовлетворяет уравнению:
- ,
- где — гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана, хотя последний и не является ни его автором, ни тем, кто его первым строго доказал[2].
- Для функции
- ,
- введённой Риманом для исследования и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид:
- .
Нули дзета-функции
Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости функция имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: . Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее, при вещественных . Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали и лежат в полосе , которая называется критической полосой. Согласно гипотезе Римана, они все находятся на критической прямой .
Представления конкретных значений
ζ(2)
Из формулы , где — число Бернулли, получаем, что .
Другие представления в виде рядов
Ниже приведены другие ряды, сумма которых равна [3]:
Существуют также представления для вида формулы Бэйли — Боруэйна — Плаффа, позволяющие в некоторых системах счисления вычислять -й знак его записи без вычисления предыдущих[3]:
Интегральные представления
Ниже приведены формулы для с участием интегралов, полученные с использованием дзета-функции Римана[4][5][6]:
Цепные дроби
Некоторые из представлений в виде цепных дробей были получены в связи с аналогичными представлениями для константы Апери , дающими возможность доказать её иррациональность.
ζ(3)
Одним из наиболее коротких представлений является , получаем, что , где — полигамма-функция.
Цепные дроби
Цепная дробь для константы Апери (последовательность A013631 в OEIS) выглядит следующим образом:
Первую обобщённую цепную дробь для константы Апери, имеющую закономерность, открыли независимо Стилтьес и Рамануджан:
Она может быть преобразована к виду:
Апери смог ускорить сходимость цепной дроби для константы:
ζ(4)
Из формулы , где — число Бернулли, получаем, что .
ζ(5)
Одним из наиболее коротких представлений является , получаем, что , где — полигамма-функция.
Обобщения
Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием дзета-функции и являются её обобщениями. Например:
- которая совпадает с дзета-функцией Римана при q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).
- который совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1.
- которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 и q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).
- Квантовый аналог (q-аналог).
Аналогичные конструкции
В теории гауссовых интегралов по траекториям возникает задача регуляризации детерминантов. Одним из подходов к её решению является введение дзета-функции оператора[11]. Пусть — неотрицательно определённый самосопряжённый оператор, имеющий чисто дискретный спектр . Причём существует вещественное число , такое, что оператор имеет след. Тогда дзета-функция оператора определяется для произвольного комплексного числа , лежащего в полуплоскости , может быть задана сходящимся рядом
Если заданная таким образом функция допускает аналитическое продолжение на область, содержащую некоторую окрестность точки , то на её основе можно определить регуляризованный детерминант оператора в соответствии с формулой
История
Как функция вещественной переменной дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышёвым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексного переменного.
См. также
Примечания
- Зудилин В. В. Об иррациональности значений дзета-функции в нечетных точках // УМН. — 2001. — Т. 56, № 2(338). — С. 215–216.
- Благушин Я. В. История функционального уравнения дзета-функции и роль различных математиков в его доказательстве // Семинары по истории математики санкт-петербургского отделения математического института им. В. А. Стеклова РАН. — 2018.
- Weisstein, Eric W. Riemann Zeta Function \zeta(2) . MathWorld. Дата обращения: 29 апреля 2018.
- Connon D. F., Некоторые ряды и интегралы, включающие Дзета-функцию Римана, биномиальные коэффициенты и гармонические числа (часть I), arΧiv:0710.4022
- Weisstein, Eric W. Double Integral . MathWorld. Дата обращения: 29 апреля 2018.
- Weisstein, Eric W. Hadjicostas's Formula . MathWorld. Дата обращения: 29 апреля 2018.
- Steven R. Finch Mathematical Constants 1.4.4
- Continued fractions for Zeta(2) and Zeta(3) . tpiezas: A COLLECTION OF ALGEBRAIC IDENTITIES. Дата обращения: 29 апреля 2018.
- van der Poorten, Alfred (1979), A proof that Euler missed ... Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3), The Mathematical Intelligencer Т. 1 (4): 195–203, doi:10.1007/BF03028234, <https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf>
- Steven R. Finch Mathematical Constants 1.6.6
- Тахтаджян, 2011, с. 348.
Литература
- Дербишир Дж. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике. — М.: Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2..
- Тахтаджян Л. А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к.ф.-м.н. С. А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.—Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0.
- Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции: формулы, графики, таблицы / Пер. с 6-го переработанного немецкого издания под ред. Л. И. Седова. — Изд. 3-е, стереотип. — М.: Наука, 1977. — 344 с.
Ссылки
- Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein. Riemann Zeta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.