Аналитическая теория чисел

Аналитическая теория чисел — раздел теории чисел, в котором свойства целых чисел исследуются методами математического анализа. Наиболее известные результаты относятся к исследованию распределения простых чисел и аддитивным проблемам Гольдбаха и Варинга.

Дзета-функция Римана ζ(s) на комплексной плоскости. Цвет точки s зависит от значения ζ(s): цвета близкие к черному соответствуют значениям близким к нулю, а тон зависит от аргумент значения.

Первым шагом в этом направлении стал метод производящих функций, сформулированный Эйлером. Для определения количества целочисленных неотрицательных решений линейного уравнения вида

${\displaystyle a_{1}x_{1}+...+a_{n}x_{n}=N,}$

где ${\displaystyle a_{1},...,a_{n}}$ — натуральные числа, Эйлер построил производящую функцию, которая определяется как произведение сходящихся рядов (при ${\displaystyle |z|<1}$)

${\displaystyle F_{i}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{(z^{a_{i}})^{k}}}$

и является суммой членов геометрической прогрессии, при этом

${\displaystyle F(z)=\sum _{N=0}^{\infty }l(N)z^{N},}$

где ${\displaystyle l(N)}$ — число решений изучаемого уравнения.[1]

В работе над квадратичным законом взаимности Гаусс рассмотрел конечные суммы вида

${\displaystyle S(a)=\sum _{n=1}^{p}e^{2\pi ian^{2}/p},}$

которые положили начало использованию тригонометрических сумм[1]. Основы методов применения тригонометрических сумм к анализу уравнений в целых и простых числах были разработаны Харди, Литтлвудом и Виноградовым.

Работая над доказательством теоремы Евклида о бесконечности простых чисел, Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам и сформулировал тождество:

${\displaystyle \Pi _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$,

которое стало основанием для теорий дзета-функций[1]. Наиболее известной и до сих пор не решённой проблемой аналитической теории чисел является доказательство гипотезы Римана о нулях дзета-функции, утверждающей, что все нетривиальные корни уравнения ${\displaystyle \zeta (s)=0}$ лежат на так называемой критической прямой ${\displaystyle \mathrm {Re} \,s={\frac {1}{2}}}$, где ${\displaystyle \zeta }$ — дзета-функция Римана.

Для доказательства теоремы о бесконечности простых чисел в общем виде Дирихле использовал произведения по всем простым числам, аналогичные эйлерову произведению, и показал, что

${\displaystyle \Pi _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$,

при этом функция ${\displaystyle \chi (p)}$, получившая название характер Дирихле, определена так, что удовлетворяет следующим условиям: она является периодической, вполне мультипликативной и не равна тождественно нулю. Характеры и ряды Дирихле нашли применение и в других разделах математики, в частности в алгебре, топологии и теории функций[1].

Чебышёв показал, что число простых чисел, не превосходящих ${\displaystyle X}$, обозначенное как ${\displaystyle \pi (X)}$, стремится к бесконечности по следующему закону[1]:

${\displaystyle a{\frac {X}{\ln(X)}}<\pi (X)<b{\frac {X}{\ln(X)}}}$, где ${\displaystyle a>1/2\ln 2}$ и ${\displaystyle b<2\ln 2}$.

Другим направлением аналитической теории чисел является применение комплексного анализа в доказательстве теоремы о распределении простых чисел.