Ряд Дирихле

Если некоторый ряд сходится в комплексной точке ${\displaystyle s_{0}=\sigma _{0}+t_{0}i}$, то этот же ряд сходится в любой точке ${\displaystyle s=\sigma +ti}$, для которой ${\displaystyle \sigma >\sigma _{0}}$. Из этого следует, что существует некоторая точка ${\displaystyle \sigma =\sigma _{c}}$ такая, что при ${\displaystyle \operatorname {Re} s>\sigma _{c}}$ ряд сходится, а при ${\displaystyle \operatorname {Re} s<\sigma _{c}}$ — расходится. Такая точка называется абсциссой сходимости.

Абсциссой абсолютной сходимости для ряда ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$ называется точка ${\displaystyle \sigma _{a}}$ такая, что при ${\displaystyle \operatorname {Re} s>\sigma _{a}}$ ряд сходится абсолютно. Справедливо утверждение о том, что ${\displaystyle 0\leqslant \sigma _{a}-\sigma _{c}\leqslant 1}$.

Поведение функции при ${\displaystyle \operatorname {Re} s}$ может быть различным. Эдмунд Ландау показал, что точка ${\displaystyle s=\sigma _{c}}$ является особой для некоторого ряда Дирихле, если ${\displaystyle \sigma _{c}}$ — его абсцисса сходимости.

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}$

где ${\displaystyle \zeta (s)}$ — дзета-функция Римана.

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},}$

где μ(n) — функция Мёбиуса.

${\displaystyle {\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}},}$

где ${\displaystyle L(\chi ,s)}$ — L-функция Дирихле.

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{s}}},}$

где Li_s(z) — полилогарифм.

Гармонический ряд

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{k}}+\cdots }$

расходится.