Условная сходимость

Ряд $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. То есть, если $\lim _{m\to \infty }\sum _{n=0}^{m}a_{n}$ существует (и не бесконечен), но $\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|=\infty$ .

Примеры

Простейшие примеры условно сходящихся рядов дают убывающие по абсолютной величине знакочередующиеся ряды. Например, ряд

\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2

сходится лишь условно, так как ряд из его абсолютных величин — гармонический ряд — расходится.

Свойства

Если ряд условно сходится, то ряды, составленные из его положительных и отрицательных членов, расходятся.
Путём изменения порядка членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, сходящийся к любой наперёд заданной сумме или же расходящийся (теорема Римана).
При почленном умножении двух условно сходящихся рядов может получиться расходящийся ряд.

Вариации и обобщения

Понятие условной сходимости естественно обобщается на ряды векторов, бесконечные произведения, а также на несобственные интегралы.

См. также

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

Последовательности и ряды
Последовательности	Числовая последовательность Фундаментальная последовательность Линейная рекуррентная последовательность Числа Фибоначчи Фигурные числа Факториал Последовательность Баркера Последовательность де Брёйна
Ряды, основное	Сумма ряда Остаток ряда Условная сходимость Знакочередующийся ряд Мультисекция ряда
Числовые ряды (действия с числовыми рядами)	Гармонический ряд Ряд Лейбница Ряд обратных квадратов Ряд обратных простых чисел Ряд Дирихле Ряд Меркатора Ряд Гранди 1 − 2 + 3 − 4 + … 1 + 2 + 3 + 4 + …
Функциональные ряды	Ряд Тейлора Ряд Лорана Ряд Фурье Тригонометрический ряд Фурье Тригонометрический ряд Ряд Винера
Другие виды рядов	Ряд Неймана Ряд Пюизё