Ряд Фурье

Ряд Фурье́ — представление функции $f$ с периодом $\tau$ в виде ряда

f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{+\infty }A_{k}\cos \left(k{\frac {2\pi }{\tau }}x+\theta _{k}\right)

Результаты добавления членов ряда Фурье при аппроксимации разрывной кусочно-постоянной функции. Выбросы на фронтах обусловлены неравномерной сходимостью ряда Фурье в точках разрыва (явление Гиббса).

Этот ряд может быть также записан в виде

f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ik{\frac {2\pi }{\tau }}x},

где

A_{k}

— амплитуда

k

-го гармонического колебания,

k{\frac {2\pi }{\tau }}=k\omega

— круговая частота гармонического колебания,

\theta _{k}

— начальная фаза

k

-го колебания,

{\hat {f}}_{k}

—

k

-я комплексная амплитуда

В более общем виде, рядом Фурье элемента некоторого пространства функций называется разложение этого элемента по полной системе ортонормированных функций или другими словами по базису, состоящему из ортогональных функций. В зависимости от используемого вида интегрирования говорят о рядах Фурье — Римана, Фурье — Лебега и т. п.[1]

Существует множество систем ортогональных многочленов и других ортогональных функций (например, функции Хаара, Уолша и Котельникова), по которым может быть произведено разложение функции в ряд Фурье.

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

Существуют многочисленные обобщения рядов Фурье в различных разделах математики. Например, любую функцию на конечной группе можно разложить в ряд, аналогичный ряду Фурье, по матричным элементам неприводимых представлений этой группы (теорема полноты).

История

Ряд Фурье назван в честь французского математика Жана-Батиста Жозефа Фурье (1768—1830), внесшего важный вклад в изучение тригонометрических рядов после предварительных исследований Леонарда Эйлера, Жана Лерона д’Аламбера и Даниила Бернулли[2]. Фурье представил ряд с целью решения уравнения теплопроводности в металлической пластине, написав свои первоначальные результаты в своем «Воспоминании о распространении тепла в твердых телах» («Трактат о распространении тепла в твердых телах») и опубликовав в Аналитической теория тепла (Théorie analytique de la chaleur) в 1822 году. В Воспоминании приведен анализ Фурье, в частности ряд Фурье. Благодаря исследованиям Фурье был установлен факт того, что произвольная (непрерывная)[3] функция может быть представлена тригонометрическим рядом. Первое объявление об этом великом открытии было сделано Фурье в 1807 году перед Французской академией[4]. Ранние идеи разложения периодической функции на сумму простых осциллирующих функций относятся к 3 веку до нашей эры, когда древние астрономы предложили эмпирическую модель движения планет, основанную на семействах и эпициклах.

Уравнение теплопроводности является уравнением в частных производных. До работы Фурье в общем случае не было известно решение уравнения теплопроводности, хотя были известны конкретные решения, если бы источник тепла вел себя простым образом, в частности, если источником тепла была волна синуса или косинуса. Эти простые решения теперь иногда называют собственными решениями. Идея Фурье состояла в том, чтобы смоделировать сложный источник тепла как суперпозицию (или линейную комбинацию) простых синусоидальных и косинусных волн и записать решение как суперпозицию соответствующих собственных решений. Эта суперпозиция или линейная комбинация называется рядом Фурье.

С современной точки зрения, результаты Фурье несколько неформальны из-за отсутствия точного понятия функции и интеграла в начале девятнадцатого века. Позднее Петер Густав Лежён Дирихле[5] и Бернхард Риман[6][7][8] выразили результаты Фурье с большей точностью и формальностью.

Хотя первоначальной мотивацией было решение уравнения теплопроводности, позже стало очевидно, что те же методы можно применять к широкому кругу математических и физических задач, особенно тех, которые включают линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых собственные решения являются синусоидами. Ряд Фурье имеет много применений в области электротехники, вибрации анализа, акустики, оптики, обработки сигналов, обработки изображений, квантовой механики, эконометрику[9], теории перекрытия-оболочки[10] и т. д.

Тригонометрический ряд Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье функции $f\in {\mathcal {L}}([-\pi ,\pi ])$ (то есть функции, суммируемой на промежутке $([-\pi ,\pi ])$ , или её периодического продолжения на вещественную прямую) называют функциональный ряд вида

f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx),

(1)

где

a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)dx,

a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx,

b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx,

Числа $a_{0}$ , $a_{n}$ и $b_{n}$ ( $n=1,2,\ldots$ ) называются коэффициентами Фурье функции $f$ . Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, что мы хотим представить функцию $f\in {\mathcal {L}}([-\pi ,\pi ])$ в виде ряда (1) и нам надо определить неизвестные коэффициенты $a_{0}$ , $a_{n}$ и $b_{n}$ . Если умножить правую часть (1) на $\cos(kx)$ и проинтегрировать по промежутку $[-\pi ,\pi ]$ , то все слагаемые в правой части, благодаря ортогональности синусов и косинусов на этом промежутке, обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент $a_{k}$ . Аналогично для $b_{k}$ .

Ряд (1) для функции $f$ из пространства ${\mathcal {L}}_{2}([-\pi ,\pi ])$ сходится в этом пространстве. Иными словами, если обозначить через $S_{k}(x)$ частичные суммы ряда (1):

S_{k}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{k}(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)

,

то их среднеквадратичное отклонение от функции $f$ будет стремиться к нулю:

\lim \limits _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{-\pi }^{\pi }(f(x)-S_{k}(x))^{2}dx=0

.

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство ${\mathcal {L}}^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$ комплекснозначных функций со скалярным произведением

{\displaystyle \langle f,g\rangle

.

Мы также рассматриваем систему функций

\varphi _{k}(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx),k\in \mathbb {Z}

.

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция $f\in {\mathcal {L}}^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$ может быть разложена по ним в ряд Фурье:

f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ikx}

,

где ряд в правой части сходится к $f$ по норме в $L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$ . Здесь

{\hat {f}}_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}dx

.

Коэффициенты ${\hat {f}}_{k}$ связаны с классическими коэффициентами Фурье следующими соотношениями:

{\hat {f}}_{k}=(a_{k}-ib_{k})/2,k>0

{\hat {f}}_{0}=a_{0}/2

{\hat {f}}_{k}=(a_{|k|}+ib_{|k|})/2,k<0

a_{k}={\hat {f}}_{k}+{\hat {f}}_{-k},k>0

b_{k}=i({\hat {f}}_{k}-{\hat {f}}_{-k}),k>0

Для вещественнозначной функции коэффициенты ${\hat {f}}_{k}$ и ${\hat {f}}_{-k}$ комплексно сопряжены.

Обобщения

Ряды Фурье в гильбертовом пространстве

Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая пространства $L^{2}[-\pi ,\pi ]$ с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система $\{\varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...\}$ в гильбертовом пространстве $H$ и $f$ — произвольный элемент из $H$ . Предположим, что мы хотим представить $f$ в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов $\{\varphi _{k}\}$ :

f=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\varphi _{n}.

Домножим это выражение на $\varphi _{k}$ . С учётом ортогональности системы функций $\{\varphi _{k}\}$ все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при $n=k$ :

(f,\varphi _{k})=c_{k}\|\varphi _{k}\|^{2}.

Числа

c_{k}={\frac {(f,\varphi _{k})}{\|\varphi _{k}\|^{2}}}

называются координатами, или коэффициентами Фурье элемента $f$ по системе $\{\varphi _{k}\}$ , а ряд

\sum _{k}c_{k}\varphi _{k}

называется рядом Фурье элемента $f$ по ортогональной системе $\{\varphi _{k}\}$ .

Ряд Фурье любого элемента $f$ по любой ортогональной системе сходится в пространстве $H$ , но его сумма не обязательно равна $f$ . Для ортонормированной системы ${\varphi _{k}}$ в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:

система является базисом, то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.
система является полной, то есть в $H$ не существует ненулевого элемента, ортогонального всем элементам $\varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...$ одновременно.
система является замкнутой, то есть для любого $f\in H$ выполнено равенство Парсеваля

\sum _{k=1}^{\infty }|c_{k}|^{2}=\|f\|^{2}

.

линейные комбинации элементов $\varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...$ плотны в пространстве $H$ .

Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента $f$ равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов $\varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...$ . В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя:

\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}\leqslant \|f\|^{2}.

Примеры

Тригонометрические функции $\sin(kx)$ , $\cos(kx)$ образуют базис гильбертова пространства $L_{2}[-\pi ,\pi ]$ . Если мы рассмотрим только косинусы или только синусы, то такая система больше не будет полной. Замыкание линейной оболочки функций $\cos(kx)$ - это все четные функции из $L_{2}$ , а замыкание линейной оболочки функций $\sin(kx)$ - все нечетные функции. Результатом разложения функции $f$ в ряды Фурье по этим системам будут соответственно четная и нечетная части функции $f$ :

\sum \limits _{0}^{n}a_{k}\cos(kx)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}},

\sum \limits _{1}^{n}b_{k}\sin(kx)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}.

Еще более интересная ситуация возникает при рассмотрении системы $\{e^{ikx}\}_{k=0}^{+\infty }$ . Эта система вновь не будет полной. Замыкание её линейной оболочки — пространство Харди $H_{2}$ . Элементы этого пространства -- те и только те функции $f\in L_{2}$ , которые имеют вид $f(t)=g(e^{it})$ , где $g$ — граничные значения некоторой функции, аналитической в круге $|z|<1.$

Двойственность Понтрягина

При обобщении теории рядов Фурье на случай гильбертовых пространств теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье со сверткой — то, что коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения представляются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей. Эти свойства являются ключевыми для приложений теории Фурье к решению дифференциальных, интегральных и других функциональных уравнений. Поэтому большой интерес представляют такие обобщения теории рядов Фурье, при которых эти свойства сохраняются. Таким обобщением является теория двойственности Понтрягина. Она рассматривает функции, заданные на локально-компактных абелевых группах. Аналогом ряда Фурье такой функции будет функция, заданная на двойственной группе.

Сходимость ряда Фурье

Сходимость ряда Фурье

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье

Обозначим через $S_{N}(f,x)$ частичные суммы ряда Фурье функции $f(x)$ :

S_{N}(f,x):=\sum \limits _{k=-N}^{N}{\hat {f}}_{k}e^{ikx}

.

Далее обсуждается сходимость последовательности функций $S_{N}(f,x)$ к функции $f(x)$ в различных смыслах. Функция $f$ предполагается $2\pi$ -периодической (если она задана только на промежутке $[-\pi ,\pi ]$ , её можно периодически продолжить).

Если $f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])$ , то последовательность $S_{N}(f,x)$ сходится к функции $f(x)$ в смысле $L_{2}$ . Кроме того, $S_{N}(f,x)$ являются наилучшим (в смысле расстояния в $L_{2}$ ) приближением функции $f$ тригонометрическим многочленом степени не выше $N$ .
Сходимость ряда Фурье в заданной точке $x_{0}$ — локальное свойство, то есть, если функции $f$ и $g$ совпадают в некоторой окрестности $x_{0}$ , то последовательности $S_{N}(f,x_{0})$ и $S_{N}(g,x_{0})$ либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают. (Принцип локализации).
Если функция $f$ дифференцируема в точке $x_{0}$ , то её ряд Фурье в этой точке сходится к $f(x_{0})$ . Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции $f$ задаются признаком Дини.
Функция, непрерывная в точке $x_{0}$ , может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к $f(x_{0})$ . Это следует из того, что для непрерывной в $x_{0}$ функции $f$ последовательность $S_{N}(f,x_{0})$ сходится по Чезаро к $f(x_{0})$ .
Если функция $f$ разрывна в точке $x_{0}$ , но имеет пределы в этой точке справа и слева $f(x_{0}+0)\neq f(x_{0}-0),$ то при некоторых дополнительных условиях $S_{N}(f,x_{0})$ сходятся к $(f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0))/2$ . Подробнее см. модифицированный признак Дини.
Теорема Карлесона: если $f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])$ , то её ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Это верно и если $f\in L_{p}([-\pi ,\pi ]),p>1$ . Однако, существуют функции из $L_{1}([-\pi ,\pi ])$ , ряд Фурье которых расходится во всех точках (пример такой функции построен Колмогоровым[11]).
Зафиксируем точку $x_{0}\in (-\pi ,\pi )$ . Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве $C([-\pi ,\pi ])$ . В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.

Убывание коэффициентов Фурье и аналитичность функции

Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса $C^{(k)}$ , а экспоненциальное — аналитическим функциям. Примеры такого рода связи:

Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к нулю (лемма Римана — Лебега).
Если функция $f$ принадлежит классу $C^{(k)}([-\pi ,\pi ])$ , то есть дифференцируема $k$ раз и её $k$ -я производная непрерывна, то ${\hat {f}}_{n}=o\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)$
Если ряд $\sum n^{\alpha }{\hat {f}}_{n}$ сходится абсолютно, то $f$ совпадает почти всюду с функцией класса $C^{(k)}([-\pi ,\pi ])$ при всех $k<\alpha$ .
Если функция принадлежит классу Гёльдера с показателем $\alpha >1/2$ , то ряд $\sum {\hat {f}}_{n}$ сходится абсолютно (теорема Бернштейна).
Если ${\hat {f}}_{n}=O(a^{n}),0<a<1$ , то тригонометрический ряд Фурье сходится к аналитической функции.

См. также

Примечания

Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 619.
Fetter, Alexander L. Theoretical Mechanics of Particles and Continua / Alexander L. Fetter, John Dirk Walecka. — Courier, 2003. — P. 209—210. — ISBN 978-0-486-43261-8.
Stillwell, John Logic and the philosophy of mathematics in the nineteenth century // Routledge History of Philosophy (неопр.) / Ten, C. L.. — Routledge, 2013. — Т. Volume VII: The Nineteenth Century. — С. 204. — ISBN 978-1-134-92880-4.
Florian Cajori. A History of Mathematics (неопр.). — Macmillan, 1893. — С. 283.
Lejeune-Dirichlet, Peter Gustav Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données (фр.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1829. — Vol. 4. — P. 157—169. — arXiv:0806.1294.
Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (нем.) (неопр.) ?. Habilitationsschrift, Göttingen; 1854. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, vol. 13, 1867. Published posthumously for Riemann by Richard Dedekind. Дата обращения: 19 мая 2008. Архивировано 20 мая 2008 года.
Mascre, D. & Riemann, Bernhard (1867), Posthumous Thesis on the Representation of Functions by Trigonometric Series, in Grattan-Guinness, Ivor, Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, Elsevier, 2005, <https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC>
Remmert, Reinhold. Theory of Complex Functions: Readings in Mathematics (англ.). — Springer, 1991. — P. 29.
Nerlove, Marc; Grether, David M.; Carvalho, Jose L. Analysis of Economic Time Series. Economic Theory, Econometrics, and Mathematical Economics (англ.). — Elsevier, 1995. — ISBN 0-12-515751-7.
Flugge, Wilhelm. Statik und Dynamik der Schalen (нем.). — Berlin: Springer-Verlag, 1957.
В. М. Тихомиров, В. В. Успенский. Пеpвые филдсовские лауpеаты и советская математика 30-х годов. I. — Матем. просв., сер. 3, 2, МЦНМО, М., 1998, 21-40.

Литература

Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — 188 с.
Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.
Харди Г.Х., Рогозинский В.В. Ряды Фурье. — М.: Физматгиз, 1959.

Ссылки

Представление периодических сигналов. Ряд Фурье (неопр.).

Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье (неопр.).

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[МЭС-1] Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 619.

[2] Fetter, Alexander L. Theoretical Mechanics of Particles and Continua / Alexander L. Fetter, John Dirk Walecka. — Courier, 2003. — P. 209—210. — ISBN 978-0-486-43261-8.

[Stillwell2013-3] Stillwell, John Logic and the philosophy of mathematics in the nineteenth century // Routledge History of Philosophy (неопр.) / Ten, C. L.. — Routledge, 2013. — Т. Volume VII: The Nineteenth Century. — С. 204. — ISBN 978-1-134-92880-4.

[Cajori1893-4] Florian Cajori. A History of Mathematics (неопр.). — Macmillan, 1893. — С. 283.

[5] Lejeune-Dirichlet, Peter Gustav Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données (фр.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1829. — Vol. 4. — P. 157—169. — arXiv:0806.1294.

[6] Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe (нем.) (неопр.) ?. Habilitationsschrift, Göttingen; 1854. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, vol. 13, 1867. Published posthumously for Riemann by Richard Dedekind. Дата обращения: 19 мая 2008. Архивировано 20 мая 2008 года.

[7] Mascre, D. & Riemann, Bernhard (1867), Posthumous Thesis on the Representation of Functions by Trigonometric Series, in Grattan-Guinness, Ivor, Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, Elsevier, 2005, <https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC>

[8] Remmert, Reinhold. Theory of Complex Functions: Readings in Mathematics (англ.). — Springer, 1991. — P. 29.

[9] Nerlove, Marc; Grether, David M.; Carvalho, Jose L. Analysis of Economic Time Series. Economic Theory, Econometrics, and Mathematical Economics (англ.). — Elsevier, 1995. — ISBN 0-12-515751-7.

[10] Flugge, Wilhelm. Statik und Dynamik der Schalen (нем.). — Berlin: Springer-Verlag, 1957.

[11] В. М. Тихомиров, В. В. Успенский. Пеpвые филдсовские лауpеаты и советская математика 30-х годов. I. — Матем. просв., сер. 3, 2, МЦНМО, М., 1998, 21-40.

Словари и энциклопедии	Большая норвежская Большая российская Britannica (онлайн) Britannica (онлайн)
В библиографических каталогах	BNE: XX540313 BNF: 11979488t LCCN: sh85051090 NDL: 00562088

Последовательности и ряды
Последовательности	Числовая последовательность Фундаментальная последовательность Линейная рекуррентная последовательность Числа Фибоначчи Фигурные числа Факториал Последовательность Баркера Последовательность де Брёйна
Ряды, основное	Сумма ряда Остаток ряда Условная сходимость Знакочередующийся ряд Мультисекция ряда
Числовые ряды (действия с числовыми рядами)	Гармонический ряд Ряд Лейбница Ряд обратных квадратов Ряд обратных простых чисел Ряд Дирихле Ряд Меркатора Ряд Гранди 1 − 2 + 3 − 4 + … 1 + 2 + 3 + 4 + …
Функциональные ряды	Ряд Тейлора Ряд Лорана Ряд Фурье Тригонометрический ряд Фурье Тригонометрический ряд Ряд Винера
Другие виды рядов	Ряд Неймана Ряд Пюизё