Ортогональные функции

Две, в общем случае, комплекснозначные функции ${\displaystyle \varphi _{1}(t)}$ и ${\displaystyle \varphi _{2}(t)}$, принадлежащие пространству Лебега ${\displaystyle L_{2}(E)}$, где ${\displaystyle E}$ — измеримое множество, называются ортогональными, если

${\displaystyle \int \limits _{E}\!\varphi _{1}(t){\overline {\varphi _{2}(t)}}\,dt=0}$

Для векторных функций вводится скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности. Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом ${\displaystyle w}$ функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$, если

${\displaystyle \ \int \limits _{\Omega }\!\langle f(x),g(x)\rangle w(x)\,d\Omega =0}$

где ${\displaystyle \langle f(x),g(x)\rangle }$ — скалярное произведение векторов ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ — значений векторнозначных функций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ в точке ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x}$ — точка области ${\displaystyle \Omega }$, а ${\displaystyle d\Omega }$ — элемент её объёма (меры). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle g(x)}$ скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle g(x)}$: ${\displaystyle \langle f(x),g(x)\rangle ={\bar {f}}(x)g(x)}$.

Требование принадлежности функций пространству ${\displaystyle L_{2}(E)}$ связано с тем, что при ${\displaystyle p\neq 2}$ пространства ${\displaystyle L_{p}(E)}$ не образуют гильбертова пространства, а потому на них невозможно ввести скалярное произведение, а вместе с ним и ортогональность.