Мера множества

Из (конечной) аддитивности меры в общем случае не следует, что аналогичное свойство выполнено и для счётного объединения непересекающихся множеств. Выделяют специальный важный класс мер, называемых счётно-аддитивными мерами.

Пусть задано множество ${\displaystyle X}$ с выделенной ${\displaystyle \sigma }$-алгеброй ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

Функция ${\displaystyle \mu \colon {\mathcal {F}}\to [0,\;\infty ]}$ называется счётно-аддитивной (или ${\displaystyle \sigma }$-аддитивной) мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

1. ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0.}$
2. (${\displaystyle \sigma }$-аддитивность) Если ${\displaystyle \{E_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}}$ — счётное семейство попарно непересекающихся множеств из ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, то есть ${\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\varnothing ,\;i\neq j}$, то:

${\displaystyle \mu \left(\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})}$.

• Если обратное не указано явно, то обычно подразумевается счётно-аддитивная мера.
• Очевидно, любая счётно-аддитивная мера является конечно-аддитивной, но не наоборот.
• Если мера всего пространства конечна, то есть ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$, то такая мера сама по себе называется конечной. В противном случае мера бесконечна.

• Обычно измеримые относительно заданной меры множества составляют собственный подкласс в классе всех подмножеств пространства ${\displaystyle X}$. И, хотя существует несколько общих схем, позволяющих продолжать меры на бо́льшие классы измеримых множеств, иногда продолжение меры возможно лишь ценой утраты уникальных свойств исходной меры. Например, мера Лебега в конечномерных евклидовых пространствах является инвариантной относительно движений этого пространства. Всякое продолжение меры Лебега на класс всех подмножеств евклидова пространства уже не может быть инвариантным даже относительно одних только сдвигов (смотри пример неизмеримого множества). Так что с практической точки зрения такие продолжения теряют всякую ценность.

• На прямой и двумерной плоскости существует бесконечное число расширений лебеговой меры с Борелевской ${\displaystyle \sigma }$-алгебры на множество всех ограниченных подмножеств, сохраняющее конечную аддитивность меры и такую, что конгруэнтные множества имеют равную меру. Начиная с размерности 3 этого сделать невозможно.

Счётно-аддитивные меры, в дополнение к указанным, обладают также следующими свойствами.

• Непрерывность: мера предела бесконечной последовательности вложенных множеств равна пределу последовательности мер этих множеств:

  ${\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}...\supseteq A=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\Rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A_{n})=\mu (A)}$

  • Здесь предполагается, что мера первого множества конечна.
• Также имеет место данное свойство для «обратной» последовательности множеств

  ${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}...\subseteq A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\Rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }\mu (A_{n})=\mu (A)}$

• Счётная монотонность означает, что мера подмножества счётного объединения множеств не больше суммы мер этих множеств:

  ${\displaystyle A\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\Rightarrow \mu (A)\leqslant \sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})}$

Класс измеримых множеств по своей структуре должен быть кольцом множеств (если мера аддитивна) или сигма-алгеброй множеств (если мера счётно-аддитивна), однако для задания меры, в обоих случаях её достаточно определить на полукольце множеств — тогда мера единственным образом может быть продолжена на минимальное кольцо (минимальную сигма-алгебру) множеств, содержащее исходное полукольцо.

Пусть начальный класс измеримых множеств ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ имеет структуру полукольца: содержит пустое множество и для любых множеств A и B из ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ их разность допускает конечное разбиение на измеримые множества из ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$, то есть найдётся конечный набор непересекающихся множеств ${\displaystyle C_{1},C_{2},...,C_{n}}$ из ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$, таких что

${\displaystyle A\setminus B=C_{1}\cup C_{2}\cup \dots \cup C_{n}}$.

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ означает класс всех подмножеств рассматриваемого пространства, допускающих конечное разбиение на множества из ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$. Класс ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ замкнут относительно операций разности, пересечения и объединения множеств, и таким образом, является кольцом множеств, содержащим ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ (причём, очевидно, минимальным). Всякая аддитивная функция ${\displaystyle \mu }$ на ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ однозначно продолжается до аддитивной функции на ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, тогда и только тогда, когда её значения согласованы на ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$. Это требование означает, что для любых наборов непересекающихся множеств ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}}$ и ${\displaystyle B_{1},B_{2},...,B_{m}}$ из ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$, если совпадает их объединение, то должна совпадать и сумма их мер:

Если ${\displaystyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}=\bigcup \limits _{j=1}^{m}B_{j}}$, то ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}\mu (A_{i})=\sum \limits _{j=1}^{m}\mu (B_{j})}$.

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ — классы измеримых множеств на пространствах ${\displaystyle X_{1}}$ и ${\displaystyle X_{2}}$, имеющие структуру полукольца. Множества вида ${\displaystyle A\times B}$, где ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{1}}$, ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}_{2}}$ образуют полукольцо ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ множеств на пространстве ${\displaystyle X=X_{1}\times X_{2}}$.

Если на ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ заданы меры ${\displaystyle \mu _{1}}$ и ${\displaystyle \mu _{2}}$, то на ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ определена аддитивная функция ${\displaystyle \mu (A\times B)=\mu _{1}(A)\mu _{2}(B)}$, удовлетворяющая требованию согласованности. Её продолжение на минимальное кольцо, содержащее ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, называется прямым произведением мер ${\displaystyle \mu _{1}}$ и ${\displaystyle \mu _{2}}$ и обозначается ${\displaystyle \mu =\mu _{1}\otimes \mu _{2}}$. Если исходные меры были сигма-аддитивны на своих областях определения, то и мера ${\displaystyle \mu }$ будет сигма-аддитивной. Эта мера используется в теории кратных интегралов (смотри Теорема Фубини).