Неопределённый интеграл

Неопределённый интегра́л для функции  — это совокупность всех первообразных данной функции[1].

Если функция определена и непрерывна на промежутке и  — её первообразная, то есть при , то

,

где С — произвольная постоянная.

Основные свойства неопределённого интеграла приведены ниже.

Если , то и , где  — произвольная функция, имеющая непрерывную производную

Подведение под знак дифференциала

При подведении под знак дифференциала используются следующие свойства:

Основные методы интегрирования

1. Метод введения нового аргумента. Если

то

где  — непрерывно дифференцируемая функция.

2. Метод разложения. Если

то

3. Метод подстановки. Если  — непрерывна, то, полагая

где непрерывна вместе со своей производной , получим

4. Метод интегрирования по частям. Если и  — некоторые дифференцируемые функции от , то

Таблица основных неопределённых интегралов

Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определённая) первообразная функция для соответствующей подынтегральной функции, справа же — одна определённая первообразная, к которой ещё прибавляется константа такая, чтобы выполнялось равенство между этими функциями.

Первообразные функции в этих формулах определены и непрерывны на тех интервалах, на которых определены и непрерывны соответствующие подынтегральные функции. Эта закономерность не случайна: как отмечено выше, всякая непрерывная на интервале функция имеет на нем непрерывную первообразную.

См. также

Примечания

  1. Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.

Литература

  • Никольский С. М. Глава 9. Определенный интеграл Римана // Курс математического анализа. — 1990. — Т. 1.
  • Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Глава 6. Неопределенный интеграл // Основы математического анализа. — 1998. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).
  • Демидович Б.П. Отдел 3. Неопределенный интеграл // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.