Интегральное уравнение

Это интегральные уравнения, в которые неизвестная функция входит линейно:

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x)}$

где ${\displaystyle \varphi (x)}$ — искомая функция, ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle K(x,\;s)}$ — известные функции, ${\displaystyle \lambda }$ — параметр. Функция ${\displaystyle K(x,\;s)}$ называется ядром интегрального уравнения. В зависимости от вида ядра и свободного члена линейные уравнения можно разделить ещё на несколько видов.

Уравнения Фредгольма 2-го рода — это уравнения вида:

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x).}$

Пределы интегрирования могут быть как конечными, так и бесконечными. Переменные удовлетворяют неравенству: ${\displaystyle a\leqslant x,\;s\leqslant b}$, а ядро и свободный член должны быть непрерывными: ${\displaystyle K(x,\;s)\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b),\;f(x)\in C([a,\;b])}$, либо удовлетворять условиям:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}|K(x,\;s)|^{2}\,dx\,ds<+\infty ,\qquad \int \limits _{a}^{b}|f(x)|^{2}\,dx<+\infty .}$

Ядра, удовлетворяющие последнему условию, называют фредгольмовыми. Если ${\displaystyle f(x)\equiv 0}$ на ${\displaystyle [a,\;b]}$, то уравнение называется однородным, иначе оно называется неоднородным интегральным уравнением.

Уравнения Фредгольма 1-го рода выглядят так же, как и уравнение Фредгольма 2-го рода, только в них отсутствует часть, содержащая неизвестную функцию вне интеграла:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds=f(x),}$

при этом ядро и свободный член удовлетворяют условиям, сформулированным для уравнений Фредгольма 2-го рода.

Уравнения Вольтерры отличаются от уравнений Фредгольма тем, что один из пределов интегрирования в них является переменным:

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int \limits _{a}^{x}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x),\qquad a\leqslant x\leqslant b.}$

Также, как и для уравнений Фредгольма, в уравнениях Вольтерры 1-го рода отсутствует неизвестная функция вне интеграла:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{x}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds=f(x).}$

В принципе, уравнения Вольтерры можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма, если переопределить ядро:

${\displaystyle {\mathcal {K}}(x,\;s)={\begin{cases}K(x,\;s),&a\leqslant s\leqslant x,\\0,&x<s\leqslant b.\end{cases}}}$

Однако некоторые свойства уравнений Вольтерры не могут быть применены к уравнениям Фредгольма.

Можно придумать немыслимое многообразие нелинейных уравнений, поэтому дать им полную классификацию не представляется возможным. Вот лишь их некоторые типы, имеющие большое теоретическое и прикладное значение.

${\displaystyle \varphi (x)=\int \limits _{a}^{b}K(x,\;s,\;\varphi (s))\,ds,\qquad K(x,\;s,\;\varphi )\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b;\;-M\leqslant \varphi \leqslant M).}$

Постоянная ${\displaystyle M}$ — это некоторое положительное число, которое заранее не всегда может быть определено.

Уравнения Гаммерштейна являются важным частным случаем уравнения Урысона:

${\displaystyle \varphi (x)=\int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)F(s,\;\varphi (s))\,ds,}$

где ${\displaystyle K(x,\;s)}$ — фредгольмово ядро.

Именами Ляпунова — Лихтенштейна принято называть уравнения, содержащие существенно нелинейные операторы, например, уравнение вида:

${\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits _{a}^{b}K_{[1]}(x,\;s)\varphi (s)\,ds+\mu \int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}K_{[1,\;1]}(x,\;s,\;z)\varphi (x)\varphi (z)\,ds\,dz+\ldots }$

${\displaystyle \varphi (x)=\int \limits _{a}^{x}F(x,\;s,\;\varphi (s))\,ds,}$

где функция ${\displaystyle F(x,\;s,\;\varphi )}$ непрерывна по совокупности своих переменных.

Метод преобразования Лапласа может быть применён к интегральному уравнению, если входящий в него интеграл имеет вид свёртки двух функций:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{x}f(x-t)g(t)\,dt\risingdotseq F(p)G(p),}$

то есть, когда ядро является функцией разности двух переменных:

${\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\int \limits _{0}^{x}K(x-s)\varphi (s)\,ds.}$

Например, дано такое уравнение:

${\displaystyle \varphi (x)=\sin x+2\int \limits _{0}^{x}\cos(x-s)\varphi (s)\,ds.}$

Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения:

${\displaystyle \varphi (x)\risingdotseq \Phi (p),}$

${\displaystyle \Phi (p)={\frac {1}{1+p^{2}}}+2{\frac {p}{1+p^{2}}}\Phi (p)\Rightarrow \Phi (p)={\frac {1}{(p-1)^{2}}}.}$

Применяя обратное преобразование Лапласа, получим:

${\displaystyle \varphi (x)={\underset {p=1}{\mathrm {res} }}\,{\frac {1}{(p-1)^{2}}}e^{px}=(e^{px})'_{p}{\Big |}_{p=1}=xe^{x}.}$

Метод последовательных приближений применяется для уравнений Фредгольма 2-го рода, если выполняется условие:

${\displaystyle |\lambda ||b-a|\max _{a\leqslant x,\;s\leqslant b}|K(x,\;s)|<1.}$

Это условие необходимо для сходимости ряда Лиувилля — Неймана:

${\displaystyle \varphi (x)=\sum _{k=0}^{\infty }\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),}$

который и является решением уравнения. ${\displaystyle (K^{k}f)(x)}$ — ${\displaystyle k}$-ая степень интегрального оператора ${\displaystyle (Kf)(x)}$:

${\displaystyle (Kf)(x)=\int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)f(s)\,ds.}$

Впрочем, такое решение является хорошим приближением лишь при достаточно малых ${\displaystyle |\lambda |}$.

Этот метод применим также и при решении уравнений Вольтерры 2-го рода. В таком случае ряд Лиувилля - Неймана сходится при любых значениях ${\displaystyle |\lambda |}$, а не только при малых.

Метод резольвент является не самым быстрым решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода, однако иногда нельзя указать других путей решения задачи.

Если ввести следующие обозначения:

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{0}(x,\;t)=K(x,\;t),\\K_{1}(t,\;s)=K(t,\;s),\end{aligned}}}$

то повторными ядрами ядра ${\displaystyle K(x,\;s)}$ будут ядра ${\displaystyle K_{p}(x,\;s)}$:

${\displaystyle K_{p}(x,\;s)=\int \limits _{a}^{b}K(x,\;t)K_{p-1}(t,\;s)\,dt.}$

Ряд, составленный из повторных ядер,

${\displaystyle {\mathcal {R}}(x,\;s,\;\lambda )=\sum _{k=0}^{\infty }\lambda ^{k}K_{k+1}(x,\;s),}$

называется резольвентой ядра ${\displaystyle K(x,\;s)}$ и является регулярно сходящимся при ${\displaystyle a\leqslant x}$, ${\displaystyle s\leqslant b}$ и вышеупомянутому условию сходимости ряда Лиувилля — Неймана. Решение интегрального уравнения представляется по формуле:

${\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits _{a}^{b}{\mathcal {R}}(x,\;s,\;\lambda )f(s)\,ds.}$

Например, для интегрального уравнения

${\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits _{0}^{1}xs\varphi (s)\,ds}$

повторными будут следующие ядра:

${\displaystyle K_{0}(x,\;s)=xs,}$

${\displaystyle K_{1}(x,\;t)=xt,}$

${\displaystyle K_{2}(x,\;t)=\int \limits _{0}^{1}xs\,st\,ds={\frac {xt}{3}},}$

${\displaystyle K_{3}(x,\;t)=\int \limits _{0}^{1}xs{\frac {st}{3}}\,ds={\frac {xt}{9}},}$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle K_{n+1}={\frac {xt}{3^{n}}},}$

а резольвентой — функция

${\displaystyle {\mathcal {R}}(x,\;t,\;\lambda )=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda ^{n}K_{n+1}=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda ^{n}{\frac {xt}{3^{n}}}=xt{\frac {1}{1-{\dfrac {\lambda }{3}}}}={\frac {3xt}{3-\lambda }}.}$

Тогда решение уравнения находится по формуле:

${\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits _{0}^{1}{\frac {3xt}{3-\lambda }}f(t)\,dt.}$

В случае, если ядро интегрального уравнения Фредгольма является вырожденным, то есть ${\displaystyle K(x,\;s)=\sum _{i=1}^{N}f_{i}(x)g_{i}(s)}$, само интегральное уравнение можно свести к системе алгебраических уравнений. Действительно, в этом случае уравнение можно переписать так:

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \sum _{i=1}^{N}f_{i}(x)\int \limits _{a}^{b}g_{i}(s)\varphi (s)\,ds+f(x)=\lambda \sum _{i=1}^{N}c_{i}f_{i}(x)+f(x),}$

где ${\displaystyle c_{i}=\int \limits _{a}^{b}\varphi (s)g_{i}(s)\,ds}$. Умножив предыдущее равенство на ${\displaystyle g_{i}(x)}$ и проинтегрировав его по ${\displaystyle x}$ на отрезке ${\displaystyle [a,\;b]}$, приходим к системе алгебраических уравнений для неизвестных чисел ${\displaystyle c_{i}}$:

${\displaystyle c_{i}=\lambda \sum _{k=0}^{N}a_{ik}c_{k}+b_{i},\qquad i=1,\;\ldots ,\;N,}$

где ${\displaystyle a_{ik}=\int \limits _{a}^{b}g_{i}(x)f_{k}(x)\,dx}$ и ${\displaystyle b_{i}=\int \limits _{a}^{b}g_{i}(x)f(x)\,dx}$ — числовые коэффициенты.

Приближённо этим методом можно решить интегральное уравнение Фредгольма с любым ядром, если в качестве вырожденного ядра, близкого к действительному, взять отрезок ряда Тейлора для функции ${\displaystyle K(x,\;s)}$.[1]

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода: ${\displaystyle \varphi (x)-\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\varphi (t)dt=f(x)}$, где ${\displaystyle K(x,t)}$ и ${\displaystyle f(x)}$ имеют непрерывные производные нужного порядка, ${\displaystyle \lambda }$ - заданное число. Используем квадратурную формулу: ${\displaystyle \int _{a}^{b}\Phi (x)dx\approx \sum _{k=1}^{n}A_{k}\Phi (x_{k})}$, где ${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n}}$ - точки на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, а коэффициенты ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}}$ не зависят от вида функции ${\displaystyle \Phi (x)}$. Рассмотрим исходное уравнение в точках ${\displaystyle x_{k}}$: ${\displaystyle \varphi (x_{k})-\lambda \int _{a}^{b}K(x_{k},t)\varphi (t)dt=f(x_{k})}$. Заменим интеграл в левой части уравнения с помощью квадратурной формулы: ${\displaystyle \varphi (x_{k})-\lambda \sum _{m=1}^{n}K(x_{k},x_{m})\varphi (x_{m})=f(x_{k})}$. Получаем линейную систему ${\displaystyle n}$ алгебраических уравнений с ${\displaystyle n}$ неизвестными ${\displaystyle \varphi (x_{1}),\varphi (x_{2}),...\varphi (x_{n})}$, которые являются приближёнными значениями решения ${\displaystyle \varphi (x)}$ в точках ${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n}}$. В качестве приближённого решения исходного интегрального уравнения можно принять функцию: ${\displaystyle {\overline {\varphi (x)}}=\lambda \sum _{m=1}^{n}A_{m}K(x,x_{m})\varphi (x_{m})}$[1].

Задача состоит в нахождении неизвестной функции ${\displaystyle f(y)}$ по известной функции ${\displaystyle g(x)}$:

${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{ixy}f(y)\,dy.}$

Фурье получил выражение для функции ${\displaystyle f(y)}$:

${\displaystyle f(y)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{-ixy}g(x)\,dx.}$

К нелинейным интегральным уравнениям Вольтерры приводит задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=F(t,\;x(t)),\qquad x(a)=x_{0}.}$

В самом деле, это уравнение можно проинтегрировать по ${\displaystyle t}$ от ${\displaystyle a}$ до ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle x(t)=x_{0}+\int \limits _{a}^{t}F(s,\;x(s))\,ds.}$

Решение начальной задачи для линейных дифференциальных уравнений приводит к линейным интегральным уравнениям Вольтерры 2-го рода. Этим ещё в 1837 году воспользовался Лиувилль. Пусть, например, поставлена задача:

${\displaystyle x''(t)+[\lambda ^{2}-\nu (t)]x(t)=0\qquad (\lambda =\mathrm {const} ),\;x(a)=1,\;x'(a)=0.}$

Для уравнения с постоянными коэффициентами с теми же начальными условиями:

${\displaystyle x''(t)+\lambda ^{2}x(t)=g(t)}$

решение может быть найдено методом вариации постоянных и представлено в виде:

${\displaystyle x(t)=\cos \lambda (t-a)+{\frac {1}{\lambda }}\int \limits _{a}^{t}g(\tau )\sin \lambda (t-\tau )\,d\tau .}$

Тогда для исходного уравнения получается:

${\displaystyle x(t)=\cos \lambda (t-a)+{\frac {1}{\lambda }}\int \limits _{a}^{t}\nu (\tau )\sin \lambda (t-\tau )x(\tau )\,d\tau }$

— интегральное уравнение Вольтерры 2-го рода.

Линейное дифференциальное уравнение ${\displaystyle n}$-го порядка

${\displaystyle {\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}(t){\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\ldots +a_{n}(t)x(t)=F(t),\qquad t>a,}$

${\displaystyle x(a)=C_{0},\;x'(a)=C_{1},\;\ldots ,\;x^{(n-1)}(a)=C_{n-1}}$

также может быть сведено к интегральному уравнению Вольтерры 2-го рода.

Исторически считается, что первой задачей, которая привела к необходимости рассмотрения интегральных уравнений, является задача Абеля. В 1823 году Абель, занимаясь обобщением задачи о таутохроне, пришёл к уравнению:

${\displaystyle f(x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {\varphi (\eta )}{\sqrt {x-\eta }}}\,d\eta ,}$

где ${\displaystyle f(x)}$ — заданная функция, а ${\displaystyle \varphi (x)}$ — искомая. Это уравнение есть частный случай линейного интегрального уравнения Вольтерры 1-го рода. Уравнение Абеля интересно тем, что к нему непосредственно приводит постановка той или иной конкретной задачи механики или физики (минуя дифференциальные уравнения). Например, к уравнению такого вида приводит задача об определении потенциальной энергии по периоду колебаний[2]

У Абеля формулировка задачи выглядела примерно так:

Материальная точка под действием силы тяжести движется в вертикальной плоскости ${\displaystyle (\xi ,\;\eta )}$ по некоторой кривой. Требуется определить эту кривую так, чтобы материальная точка, начав своё движение без начальной скорости в точке кривой с ординатой ${\displaystyle x}$, достигла оси ${\displaystyle O\xi }$ за время ${\displaystyle t=f_{1}(x)}$, где ${\displaystyle f_{1}(x)}$ — заданная функция.

Если обозначить угол между касательной к траектории и осью ${\displaystyle O\xi }$ как ${\displaystyle \beta }$ и применить законы Ньютона, можно прийти к следующему уравнению:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{x}{\frac {\varphi (\eta )}{\sqrt {x-\eta }}}\,d\eta =-{\sqrt {2g}}f_{1}(x),\qquad \varphi (\beta )={\frac {1}{\sin \beta }}.}$