Стохастический интеграл

Стохастический интеграл можно определить при помощи сумм[2]

${\displaystyle S_{N}=\sum _{i=0}^{N}f(\tau _{i})[y(t_{i+1})-y(t_{i})].}$

Интеграл получается, как и в случае интеграла Стилтьеса, переходом к пределу:

${\displaystyle I=\int f(t)dy(t)=\lim _{N\to \infty }S_{N}.}$

Рассмотрим интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{T}\omega (t)d\omega (t),}$

где ${\displaystyle {\omega (t),t\in T}}$ — винеровский процесс с единичным параметром дисперсии. Разделим интервал ${\displaystyle [0;T]}$ точками ${\displaystyle 0=t_{1},t_{2},...,t_{N},t_{N+1}=T}$ на ${\displaystyle N}$ подинтервалов. Используя предыдущее определение интеграла для детерминированной функции, стохастический интеграл можно определить любым из двух выражений[3]:

${\displaystyle I_{0}=\lim \sum _{i=1}^{N}\omega (t_{i})[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]}$ или ${\displaystyle I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}\omega (t_{i+1})[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})].}$

Эти интегралы не равны, поскольку, по определению винеровского процесса[4]

${\displaystyle I_{1}-I_{0}=\lim \sum _{i=1}^{N}[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]^{2}=t.}$

Обобщенный стохастический интеграл можно определить как взвешенную по параметру ${\displaystyle \lambda }$ сумму интегралов ${\displaystyle I_{0}}$ и ${\displaystyle I_{1}}$ следующей формулой[4]:

${\displaystyle I_{\lambda }=(1-\lambda )I_{0}+\lambda I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}[(1-\lambda )\omega (t_{i})+\lambda \omega (t_{i+1})][\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})],}$

при ${\displaystyle 0\leqslant \lambda \leqslant 1}$. Интеграл ${\displaystyle I_{0}}$ соответствует интегралу Ито, а ${\displaystyle I_{0,5}}$ совпадает с интегралом Стратоновича.

Интеграл Стратоновича имеет вид[5]

${\displaystyle I=\lim _{N\to \infty }{\dfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}[f(t_{i})+f(t_{i+1})][y(t_{i+1})-y(t_{i})].}$

Интеграл Ито имеет вид[4]

${\displaystyle \int f(t)dy(t)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}f(t_{i})[y(t_{i+1})-y(t_{i})].}$

Его основные свойства[4]:

• ${\displaystyle E\int f(t)dy(t)=\int {Ef(t)}dm(t).}$
• ${\displaystyle cov\left[\int f(t)dy(t),\int g(t)dy(t)\right]=\int [Ef(t)g(t)]dr(t).}$

Здесь ${\displaystyle m(t)}$ — функция среднего значения, ${\displaystyle r(t)}$ — ковариационная функция.

Поставим в соответствие каждой траектории одномерного винеровского процесса некоторое число ${\displaystyle \alpha }$. Тогда эту траекторию можно описать посредством стохастической функции ${\displaystyle x(t,\alpha )}$. Интеграл вида

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )}$

называется стохастическим интегралом Винера. Этот интеграл вычисляется интегрированием по частям с учётом равенства ${\displaystyle x(0,\alpha )=0}$[6]:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=f(1)x(1,\alpha )-\int \limits _{0}^{1}f'(t)x(t,\alpha )dt.}$

Его основные свойства:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}d\alpha \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=0}$[7].

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}d\alpha \left[\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )\right]^{2}=\int \limits _{0}^{1}f^{2}(t)dt}$[8].

• Стохастическое исчисление Ито
• Стратонович, Руслан Леонтьевич

• Острём, К. Ю. Введение в стохастическую теорию управления / пер. с англ. С. А. Анисисмова, Н. Е. Арутюновой, А. Л. Бунича; под ред. Н. С. Райбмана. — М.: Мир, 1973.
• Винер, Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.