Метод прямоугольников

В случае разбиения отрезка интегрирования на ${\displaystyle n}$ элементарных отрезков приведённые выше формулы применяются на каждом из этих элементарных отрезков между двумя соседними узлами. В результате, получаются составные квадратурные формулы

1. Для левых прямоугольников: ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n-1}f(x_{i})(x_{i+1}-x_{i}).}$
2. Для правых прямоугольников: ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}f(x_{i})(x_{i}-x_{i-1}).}$
3. Для средних прямоугольников: ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n-1}f\left({\frac {x_{i}+x_{i+1}}{2}}\right)(x_{i+1}-x_{i})=\sum _{i=1}^{n}f\left({\frac {x_{i-1}+x_{i}}{2}}\right)(x_{i}-x_{i-1}).}$

Формулу с вычислением значения в средней между двумя узлами точке можно применять лишь тогда, когда подынтегральная функция задана аналитически, либо каким-нибудь иным способом, допускающим вычисление значения в произвольной точке. В задачах, где функция задана таблицей значений остаётся лишь вычислять среднее значение между интегралами, посчитанными по формулам левых и правых прямоугольников соответственно, что приводит к составной квадратурной формуле трапеций.

Поскольку составные квадратурные формулы являются ни чем иным, как суммами, входящими в определение интеграла Римана, при ${\displaystyle n\to \infty }$ они сходятся к точному значению интеграла. Соответственно, с увеличением ${\displaystyle n}$ точность получаемого по приближённым формулам результата возрастает.

Метод средних прямоугольников

Равномерную сетку можно описать следующим набором формул:

${\displaystyle x_{i}=a+ih,\qquad h={\frac {b-a}{n}},}$

где ${\displaystyle h}$ — шаг сетки.

Для равномерных сеток формулы прямоугольников можно записать в виде следующих формул Котеса:

1. Составная формула левых прямоугольников: ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h\sum _{i=0}^{n-1}f_{i}=h(f_{0}+f_{1}+\ldots +f_{n-1}).}$
2. Составная формула правых прямоугольников: ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h\sum _{i=1}^{n}f_{i}=h(f_{1}+f_{2}+\ldots +f_{n}).}$
3. Составная формула средних прямоугольников: ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h({\frac {f_{0}}{2}}+f_{1}+\ldots +f_{n-1}+{\frac {f_{n}}{2}}).}$ Т.е. соответствует формуле трапеций.

Для формул правых и левых прямоугольников погрешность составляет

${\displaystyle E(f)={\frac {f'(\xi )}{2}}h^{2}.}$

Для формулы прямоугольников (средних)

${\displaystyle E(f)={\frac {f''(\xi )}{24}}h^{3}.}$

Для составных формул правых и левых прямоугольников на равномерной сетке:

${\displaystyle E(f)={\frac {f'(\xi )}{2}}h^{2}\cdot n={\frac {f'(\xi )}{2}}(b-a)h.}$

Для составной формулы прямоугольников:

${\displaystyle E(f)={\frac {f''(\xi )}{24}}h^{3}\cdot n={\frac {f''(\xi )}{24}}(b-a)h^{2}.}$

Формула средних прямоугольников для аналитически заданной функции, написанная на С

double InFunction(double x) { //Подынтегральная функция
  return sin(x);
}

double CalcIntegral(double a, double b, int n) {
  double result = 0, h = (b - a) / n;
  
  for(int i = 0; i < n; i++) {
    result += InFunction(a + h * (i + 0.5));
  }
  
  result *= h;
  return result;
}

• Формула Симпсона
• Метод трапеций
• Список квадратурных формул