Интеграл Римана — Стилтьеса

Интеграл Римана — Сти́лтьеса[1] — обобщение определённого интеграла, предложенное в 1894 году Сти́лтьесом. Вместо предела обычных интегральных сумм

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})}}$

рассматривается предел сумм

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})(j(x_{i})-j(x_{i-1}))},}$

где интегрирующая функция ${\displaystyle j(x)}$ есть функция с ограниченным изменением (ограниченной вариацией)[2]. Если ${\displaystyle j(x)}$ непрерывно дифференцируема, то он выражается через обычный интеграл:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dj(x)=\int \limits _{a}^{b}f(x)j'(x)\,dx}$ (если последний существует).