Метод трапеций

Применение составной формулы трапеций

Если отрезок ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ разбивается узлами интегрирования ${\displaystyle x_{i}}$, ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,n}$, так что ${\displaystyle x_{0}=a}$ и ${\displaystyle x_{n}=b}$, и на каждом из элементарных отрезков ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}$ применяется формула трапеций, то суммирование даст составную формулу трапеций

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {f(x_{i})+f(x_{i+1})}{2}}(x_{i+1}-x_{i})=}$

${\displaystyle ={\frac {f(a)}{2}}(x_{1}-a)+\sum _{i=1}^{n-1}{f(x_{i})}(x_{i+1}-x_{i})+{\frac {f(b)}{2}}(b-x_{n-1}).}$

Формула Котеса

Применение формулы трапеций для равномерной сетки

В случае равномерной сетки ${\displaystyle x_{j}=a+jh}$, где ${\displaystyle h=(b-a)/n}$ — шаг сетки, составная формула трапеций упрощается:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=h\left({\frac {f_{0}+f_{n}}{2}}+\sum _{i=1}^{n-1}f_{i}\right)+E_{n}(f),}$

причём для погрешности справедлива оценка

${\displaystyle E_{n}(f)=-{\frac {f''(\xi )}{12}}(b-a)h^{2}.}$

• Метод трапеций быстро сходится для осциллирующих функций, поскольку погрешность за период аннулируется.
• Метод может быть получен путём вычисления среднего арифметического между результатами применения формул правых и левых прямоугольников.

• Метод прямоугольников
• Формула Симпсона
• Список квадратурных формул

• Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — 2. — Физ-Мат. Лит., 1963. — С. 659.