Метод трапеций
Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 1.
![](../I/Trapezoidal_rule_illustration.png.webp)
Если отрезок является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле
Это простое применение формулы для площади трапеции — произведение полусуммы оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования). Погрешность аппроксимации для элементарного отрезка можно оценить через максимум второй производной
(для случаев разбиения отрезка на n частей см. составные формулы ниже).
Составная формула
![](../I/Composite_trapezoidal_rule_illustration.png.webp)
Если отрезок разбивается узлами интегрирования , , так что и , и на каждом из элементарных отрезков применяется формула трапеций, то суммирование даст составную формулу трапеций
Формула Котеса
![](../I/Trapezoidal_rule_illustration_small.svg.png.webp)
В случае равномерной сетки , где — шаг сетки, составная формула трапеций упрощается:
причём для погрешности справедлива оценка
Свойства
- Метод трапеций быстро сходится для осциллирующих функций, поскольку погрешность за период аннулируется.
- Метод может быть получен путём вычисления среднего арифметического между результатами применения формул правых и левых прямоугольников.
Литература
- Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — 2. — Физ-Мат. Лит., 1963. — С. 659.