Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой.

Различают криволинейный интеграл первого рода, в котором скалярная функция умножается на бесконечно малую длину области кривой, и второго рода — где вектор-функция скалярно умножается на бесконечно малый вектор, лежащий вдоль кривой, которая наделена направлением.

Определение

Кривая

Пусть  — гладкая (непрерывно дифференцируемая), без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически:

где rрадиус-вектор, конец которого описывает кривую, а параметр t направлен от какого-то начального значения a к конечному значению b. Для интеграла второго рода направление, в котором движется параметр, определяет само направление кривой При этом не играет роли, что больше — b или a.[1]

Интегрируемая функция

Пусть дана скалярная или векторная функция, от которой рассматривается интеграл вдоль кривой или

Разбиение отрезка параметризации

  • Пусть дано разбиение отрезка (или ) то есть множество  где:
    • если
    • или если
  • Мелкостью этого разбиения называется число обозначающее максимальное возможное из расстояний между всеми соседними значениями этого разбиения.
  • Введём набор промежуточных точек разбиения — точек каждая из которых лежит между и ().

Разбиение кривой

  • Зададим разбиение кривой которое соответствует разбиению отрезка параметризации.
  • За обозначим часть кривой от значения параметра до значения где
  • Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой — точек каждая из которых лежит на ().

Интегральные суммы

Ниже для определения интегральных сумм используются промежуточные точки разбиение и участки кривой Рассмотрим две интегральные суммы:

  • интегральную сумму для интеграла первого рода:
    где |lk| — длина участка lk;
  • интегральную сумму для интеграла второго рода:
где вектор-функция f скалярно умножается на приращение r(tk) − r(tk−1).

Криволинейный интеграл

Если в интегральных суммах n неограниченно увеличить так, чтобы мелкость стремилась к нулю, то в пределе получится криволинейный интеграл от функции () по кривой Если этот предел действительно существует, то говорят, что функция () интегрируема по кривой Тогда интегралы первого и второго рода обозначаются:

где dr — вектор-дифференциал вдоль кривой. В случае с интегралом второго рода важно направление кривой: от этого зависит направление самого дифференциала dr.

Если кривая замкнута (начало совпадает с концом), то вместо значка принято писать

Криволинейный интеграл первого рода

Иллюстрация криволинейного интеграла первого рода на скалярном поле

Свойства

  1. Линейность:
  2. Аддитивность: если и пересекаются в одной точке, то
  3. Монотонность: если на , то
  4. Теорема о среднем: при непрерывности функции на для интеграла возможно подобрать такую точку что
    или, что то же самое,
  5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла:
  6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

Вычисление

Пусть  — гладкая, спрямляемая (конечной длины) кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой Тогда в общем случае

или, если раскрыть модуль дифференциала dt,

где точкой обозначена производная по t.

Криволинейный интеграл второго рода

Иллюстрация криволинейного интеграла второго рода на векторном поле

Свойства

1. Линейность:

2. Аддитивность:

3.

Замечание. Для криволинейных интегралов второго рода несправедливы свойство монотонности, оценка модуля и теорема о среднем.

Вычисление

Пусть AB — гладкая кривая, заданная параметрически (как в определении) и наделённая направлением от A до B. Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой Тогда

а при изменении обхода кривой:

Взаимосвязь криволинейных интегралов

Если обозначить за единичный вектор касательной к кривой который имеет то же направление, в каком параметризирована сама кривая, то взаимосвязь между криволинейными интегралами такова:

В терминах самих интегралов это выглядит так:

где  — гладкая, спрямляемая кривая, наделённая направлением, а вектор-функция интегрируема на ней.

Трёхмерное евклидово пространство

В трёхмерном евклидовом пространстве дифференциалы координат вектора, направленного вдоль направленной кривой, выражаются через направляющие косинусы, если воспользоваться определением скалярного произведения:

Тогда, раскладывая скалярное произведение в по координатам, взаимосвязь криволинейных интегралов можно выразить так:

Механические приложения

  • Масса m криволинейного (бесконечно тонкого) тела l, линейная плотность которого вдоль кривой l равна μ(r), выражается интегралом
  • Центр масс (центра тяжести) криволинейного тела l с линейной плотностью μ(r) выражается через радиус-вектор rc как
где m — масса кривой l.
  • Моменты инерции кривой l при её вращении вокруг координатных осей в 3-мерном пространстве:
  • Сила притяжения точечной массы m0 в начале координат с криволинейным телом l равна
где μ(r) — линейная плотность кривой l, γ — гравитационная постоянная.

См. также

Примечания

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.