Криволинейный интеграл

Пусть ${\displaystyle l}$ — гладкая (непрерывно дифференцируемая), без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически:

${\displaystyle l\colon ~\mathbf {r} (t),}$

где r — радиус-вектор, конец которого описывает кривую, а параметр t направлен от какого-то начального значения a к конечному значению b. Для интеграла второго рода направление, в котором движется параметр, определяет само направление кривой ${\displaystyle l.}$ При этом не играет роли, что больше — b или a.[1]

Пусть дана скалярная или векторная функция, от которой рассматривается интеграл вдоль кривой ${\displaystyle l\colon }$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ или ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} ).}$

• Пусть дано разбиение отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ (или ${\displaystyle [b,a]}$) то есть множество ${\displaystyle \{t_{k}\}_{k=0}^{n}=\{t_{0},~...,t_{n}\},}$ где:
  • ${\displaystyle a=t_{0}<\ldots <t_{n}=b,}$ если ${\displaystyle a<b;}$
  • или ${\displaystyle a={{t}_{0}}>\ldots >{{t}_{n}}=b,}$ если ${\displaystyle a>b.}$

• Мелкостью этого разбиения называется число ${\displaystyle \max _{k={\overline {1,n}}}\{|t_{k}-t_{k-1}|\},}$ обозначающее максимальное возможное из расстояний между всеми соседними значениями этого разбиения.

• Введём набор промежуточных точек разбиения — точек ${\displaystyle \xi _{k},}$ каждая из которых лежит между ${\displaystyle t_{k-1}}$ и ${\displaystyle t_{k}}$ (${\displaystyle k={\overline {1,n}}}$).

• Зададим разбиение кривой ${\displaystyle \{\mathbf {r} (t_{k})\}_{k=0}^{n},}$ которое соответствует разбиению ${\displaystyle \{t_{k}\}_{k=0}^{n}}$ отрезка параметризации.

• За ${\displaystyle l_{k}}$ обозначим часть кривой ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ от значения параметра ${\displaystyle t=t_{k-1}}$ до значения ${\displaystyle t=t_{k},}$ где ${\displaystyle k={\overline {1,n}}.}$

• Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой — точек ${\displaystyle \mathbf {r} (\xi _{k}),}$ каждая из которых лежит на ${\displaystyle l_{k}}$ (${\displaystyle k={\overline {1,n}}}$).

Ниже для определения интегральных сумм используются промежуточные точки ${\displaystyle \mathbf {r} (\xi _{k}),}$ разбиение ${\displaystyle \{t_{k}\}_{k=0}^{n}}$ и участки ${\displaystyle l_{k}}$ кривой ${\displaystyle l.}$ Рассмотрим две интегральные суммы:

• интегральную сумму для интеграла первого рода:

  ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}f{\big (}\mathbf {r} (\xi _{k}){\big )}\cdot |l_{k}|,}$ где |l_k| — длина участка l_k;

• интегральную сумму для интеграла второго рода:

  ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {r} (\xi _{k}){\big )}\cdot {\big (}\mathbf {r} (t_{k})-\mathbf {r} (t_{k-1}){\big )},}$

где вектор-функция f скалярно умножается на приращение r(t_k) − r(t_k−1).

Если в интегральных суммах n неограниченно увеличить так, чтобы мелкость стремилась к нулю, то в пределе получится криволинейный интеграл от функции ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle \mathbf {f} }$) по кривой ${\displaystyle l.}$ Если этот предел действительно существует, то говорят, что функция ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle \mathbf {f} }$) интегрируема по кривой ${\displaystyle l.}$ Тогда интегралы первого и второго рода обозначаются:

${\displaystyle \int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |},\quad \int _{l}\mathbf {f(r)\cdot dr} ,}$

где dr — вектор-дифференциал вдоль кривой. В случае с интегралом второго рода важно направление кривой: от этого зависит направление самого дифференциала dr.

Если кривая ${\displaystyle l}$ замкнута (начало совпадает с концом), то вместо значка ${\displaystyle \textstyle \int }$ принято писать ${\displaystyle \textstyle \oint .}$

1. Линейность:

   ${\displaystyle \int _{l}(\alpha f(\mathbf {r} )+\beta g(\mathbf {r} ))\cdot \mathbf {|dr|} =\alpha \int _{l}f\mathbf {|dr|} +\beta \int _{l}g\mathbf {|dr|} .}$

2. Аддитивность: если ${\displaystyle l_{1}}$ и ${\displaystyle l_{2}}$ пересекаются в одной точке, то

   ${\displaystyle \int _{l_{1}\cup l_{2}}f\mathbf {|dr|} =\int _{l_{1}}f\mathbf {|dr|} +\int _{l_{2}}f\mathbf {|dr|} .}$

3. Монотонность: если ${\displaystyle f\leqslant g}$ на ${\displaystyle l}$, то

   ${\displaystyle \int _{l}f\mathbf {|dr|} \leqslant \int _{l}g\mathbf {|dr|} .}$

4. Теорема о среднем: при непрерывности функции ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle l}$ для интеграла ${\displaystyle \textstyle \int _{l}f\mathbf {|dr|} }$ возможно подобрать такую точку ${\displaystyle \xi \in l,}$ что

   ${\displaystyle \int _{l}f\mathbf {(r)|dr|} =\int _{l}f(\xi )\mathbf {|dr|} ,}$ или, что то же самое, ${\displaystyle \int _{l}f\mathbf {(r)|dr|} =f(\xi )\cdot |l|.}$

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла:

   ${\displaystyle \int _{AB}f\cdot |\mathbf {dr} |=\int _{BA}f\cdot |{-}\mathbf {dr} |=\int _{BA}f\cdot |\mathbf {dr} |.}$

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

Пусть ${\displaystyle l}$ — гладкая, спрямляемая (конечной длины) кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ определена и интегрируема вдоль кривой ${\displaystyle l.}$ Тогда в общем случае

${\displaystyle \int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |}=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)dt|=\int _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)dt|,}$

или, если раскрыть модуль дифференциала dt,

${\displaystyle \int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |}={\begin{cases}\int \limits _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|dt=\int \limits _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|(-dt),&{\text{если}}~a<b,\\\int \limits _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|(-dt)=\int \limits _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|dt,&{\text{если}}~a>b.\end{cases}}}$

где точкой обозначена производная по t.

1. Линейность:

${\displaystyle \int _{l}(\alpha \mathbf {f} +\beta \mathbf {g} )\cdot \mathbf {dr} =\alpha \int _{l}\mathbf {f\cdot dr} +\beta \int _{l}\mathbf {g\cdot dr} .}$

2. Аддитивность:

${\displaystyle \int _{AB}\mathbf {f\cdot dr} +\int _{BC}\mathbf {f\cdot dr} =\int _{ABC}\mathbf {f\cdot dr} .}$

3. ${\displaystyle \int _{BA}\mathbf {f\cdot dr} =\int _{AB}\mathbf {f} \cdot (-\mathbf {dr} )=-\int _{AB}\mathbf {f\cdot dr} .}$

Замечание. Для криволинейных интегралов второго рода несправедливы свойство монотонности, оценка модуля и теорема о среднем.

Пусть AB — гладкая кривая, заданная параметрически (как в определении) и наделённая направлением от A до B. Пусть функция ${\displaystyle \mathbf {f} }$ определена и интегрируема вдоль кривой ${\displaystyle l.}$ Тогда

${\displaystyle \int _{AB}\mathbf {f(r)\cdot dr} =\int _{a}^{b}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r}}} (t)dt,}$

а при изменении обхода кривой:

${\displaystyle \int _{BA}\mathbf {f(r)\cdot dr} =\int _{b}^{a}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r}}} (t)dt=-\int _{a}^{b}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r}}} (t)dt.}$

В трёхмерном евклидовом пространстве дифференциалы координат вектора, направленного вдоль направленной кривой, выражаются через направляющие косинусы, если воспользоваться определением скалярного произведения:

${\displaystyle dx=\cos \angle ({\vec {i}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |;}$

${\displaystyle dy=\cos \angle ({\vec {j}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |;}$

${\displaystyle dz=\cos \angle ({\vec {k}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |.}$

Тогда, раскладывая скалярное произведение в ${\displaystyle \textstyle \int _{l}\mathbf {f\cdot \color {Green}dr} =\int _{l}\mathbf {(f\cdot {\vec {\tau }})\color {Green}|dr|} }$ по координатам, взаимосвязь криволинейных интегралов можно выразить так:

${\displaystyle \int _{l}f_{x}(x,y,z)dx=\int _{l}f_{x}(x,y,z)\cos \angle ({\vec {i}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |;}$

${\displaystyle \int _{l}f_{y}(x,y,z)dy=\int _{l}f_{y}(x,y,z)\cos \angle ({\vec {j}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |;}$

${\displaystyle \int _{l}f_{z}(x,y,z)dz=\int _{l}f_{z}(x,y,z)\cos \angle ({\vec {k}},{\vec {\tau }})|\mathbf {dr} |.}$