Список интегралов от логарифмических функций

Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от логарифмической функции. В списке везде предполагается ${\displaystyle x>0}$. Аддитивная константа опущена.

${\displaystyle \int \ln cx\,dx=x\ln cx-cx}$

${\displaystyle \int (\ln x)^{2}\;dx=x(\ln x)^{2}-2x\ln x+2x}$

${\displaystyle \int (\ln cx)^{n}\;dx=x(\ln cx)^{n}-n\int (\ln cx)^{n-1}dx}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\ln x}}=\ln |\ln x|+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{i}}{i\cdot i!}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{(\ln x)^{n-1}}}}$ для ${\displaystyle n\neq 1}$

${\displaystyle \int x^{m}\ln x\;dx=x^{m+1}\left({\frac {\ln x}{m+1}}-{\frac {1}{(m+1)^{2}}}\right)}$ для ${\displaystyle m\neq -1}$

${\displaystyle \int x^{m}(\ln x)^{n}\;dx={\frac {x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}dx}$ для ${\displaystyle m\neq -1}$

${\displaystyle \int {\frac {(\ln x)^{n}\;dx}{x}}={\frac {(\ln x)^{n+1}}{n+1}}}$ для ${\displaystyle n\neq -1}$

${\displaystyle \int {\frac {\ln x\,dx}{x^{m}}}=-{\frac {\ln x}{(m-1)x^{m-1}}}-{\frac {1}{(m-1)^{2}x^{m-1}}}}$ для ${\displaystyle m\neq 1}$

${\displaystyle \int {\frac {(\ln x)^{n}\;dx}{x^{m}}}=-{\frac {(\ln x)^{n}}{(m-1)x^{m-1}}}+{\frac {n}{m-1}}\int {\frac {(\ln x)^{n-1}dx}{x^{m}}}}$ для ${\displaystyle m\neq 1}$

${\displaystyle \int {\frac {x^{m}\;dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {m+1}{n-1}}\int {\frac {x^{m}dx}{(\ln x)^{n-1}}}}$ для ${\displaystyle n\neq 1}$

${\displaystyle \int {\frac {x^{m}dx}{\ln x}}=\mathrm {Ei} \left(\left(m+1\right)\ln x\right)}$,

где Ei(x) — интегральная экспонента

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x\ln x}}=\ln |\ln x|}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{n}\ln x}}=\ln |\ln x|+\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {(n-1)^{i}(\ln x)^{i}}{i\cdot i!}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x(\ln x)^{n}}}=-{\frac {1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}},}$ для ${\displaystyle n\neq 1}$

${\displaystyle \int \sin(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)-\cos(\ln x))}$

${\displaystyle \int \cos(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)+\cos(\ln x))}$