Момент инерции

Осевые моменты инерции некоторых тел

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси[1]:

${\displaystyle J_{a}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2},}$

где:

• m_i — масса i-й точки,
• r_i — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

${\displaystyle J_{a}=\int \limits _{(m)}r^{2}dm=\int \limits _{(V)}\rho r^{2}dV,}$

где:

dm = ρ dV — масса малого элемента объёма тела dV,

ρ — плотность,

r — расстояние от элемента dV до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

${\displaystyle J_{a}=\rho \int \limits _{(V)}r^{2}dV.}$

Осевые моменты инерции некоторых тел

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения

Тело	Описание	Положение оси a	Момент инерции Ja
	Материальная точка массы m	На расстоянии r от точки, неподвижная	${\displaystyle mr^{2}}$
	Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра	${\displaystyle mr^{2}}$
	Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m	Ось цилиндра	${\displaystyle {\frac {1}{2}}mr^{2}}$
	Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r2 и внутренним радиусом r1	Ось цилиндра	${\displaystyle m{\frac {r_{2}^{2}+r_{1}^{2}}{2}}}$[Комм 1]
	Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна образующей цилиндра и проходит через его центр масс	${\displaystyle {1 \over 4}m\cdot r^{2}+{1 \over 12}m\cdot l^{2}}$
	Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс	${\displaystyle {1 \over 2}m\cdot r^{2}+{1 \over 12}m\cdot l^{2}}$
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс	${\displaystyle {\frac {1}{12}}ml^{2}}$
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец	${\displaystyle {\frac {1}{3}}ml^{2}}$
	Тонкостенная сфера радиуса r и массы m	Ось проходит через центр сферы	${\displaystyle {\frac {2}{3}}mr^{2}}$
	Шар радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара	${\displaystyle {\frac {2}{5}}mr^{2}}$
	Конус радиуса r и массы m	Ось конуса	${\displaystyle {\frac {3}{10}}mr^{2}}$
	Равнобедренный треугольник с высотой h, основанием a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину (при высоте)	${\displaystyle {\frac {1}{24}}m(a^{2}+12h^{2})}$
	Правильный треугольник со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс	${\displaystyle {\frac {1}{12}}ma^{2}}$
	Квадрат со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс	${\displaystyle {\frac {1}{6}}ma^{2}}$
	Прямоугольник со сторонами a и b и массой m	Ось перпендикулярна плоскости прямоугольника и проходит через центр масс	${\displaystyle {\frac {1}{12}}m(a^{2}+b^{2})}$
	Правильный n-угольник радиуса r и массой m	Ось перпендикулярна плоскости и проходит через центр масс	${\displaystyle {\frac {mr^{2}}{6}}\left[1+2\cos(\pi /n)^{2}\right]}$
	Тор (полый) с радиусом направляющей окружности R, радиусом образующей окружности r и массой m	Ось перпендикулярна плоскости направляющей окружности тора и проходит через центр масс	${\displaystyle I=m\left({\frac {3}{4}}\,r^{2}+R^{2}\right)}$

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобьём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ_i. Тогда

${\displaystyle J=\sum dJ_{i}=\sum R_{i}^{2}dm.\qquad (1).}$

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

${\displaystyle J=\sum R^{2}dm=R^{2}\sum dm=mR^{2}.}$

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R₁, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

${\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^{2}dm=2\pi \rho hr^{3}dr.}$

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

${\displaystyle J=\int _{R_{1}}^{R}dJ=2\pi \rho h\int _{R_{1}}^{R}r^{3}dr=}$

${\displaystyle =2\pi \rho h\left.{\frac {r^{4}}{4}}\right|_{R_{1}}^{R}={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left(R^{4}-R_{1}^{4}\right)={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)\left(R^{2}+R_{1}^{2}\right).}$

Поскольку объём и масса кольца равны

${\displaystyle V=\pi \left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)h;\qquad m=\rho V=\pi \rho \left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)h,}$

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

${\displaystyle J={\frac {1}{2}}m\left(R^{2}+R_{1}^{2}\right).}$

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Вывод формулы

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R₁ = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

${\displaystyle J={\frac {1}{2}}mR^{2}.}$

Сплошной конус

Вывод формулы

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

${\displaystyle r={\frac {Rh}{H}},}$

где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят

${\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^{2}dh;}$

${\displaystyle dJ={\frac {1}{2}}r^{2}dm={\frac {1}{2}}\pi \rho r^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {Rh}{H}}\right)^{4}dh;}$

Интегрируя, получим

${\displaystyle {\begin{aligned}J=\int _{0}^{H}dJ={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {R}{H}}\right)^{4}\int _{0}^{H}h^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left({\frac {R}{H}}\right)^{4}\left.{\frac {h^{5}}{5}}\right|_{0}^{H}=={\frac {1}{10}}\pi \rho R^{4}H=\left(\rho \cdot {\frac {1}{3}}\pi R^{2}H\right){\frac {3}{10}}R^{2}={\frac {3}{10}}mR^{2}.\end{aligned}}}$

Сплошной однородный шар

Вывод формулы

Разобьём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

${\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-h^{2}}}.}$

Масса и момент инерции такого диска составят

${\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^{2}dh;}$

${\displaystyle dJ={\frac {1}{2}}r^{2}dm={\frac {1}{2}}\pi \rho r^{4}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{2}-h^{2}\right)^{2}dh={\frac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{4}-2R^{2}h^{2}+h^{4}\right)dh.}$

Момент инерции шара найдём интегрированием:

${\displaystyle {\begin{aligned}J&=\int _{-R}^{R}dJ=2\int _{0}^{R}dJ=\pi \rho \int _{0}^{R}\left(R^{4}-2R^{2}h^{2}+h^{4}\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^{4}h-{\frac {2}{3}}R^{2}h^{3}+{\frac {1}{5}}h^{5}\right)\right|_{0}^{R}=\pi \rho \left(R^{5}-{\frac {2}{3}}R^{5}+{\frac {1}{5}}R^{5}\right)={\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}=\\&=\left({\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho \right)\cdot {\frac {2}{5}}R^{2}={\frac {2}{5}}mR^{2}.\end{aligned}}}$

Тонкостенная сфера

Вывод формулы

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:

${\displaystyle J_{0}={\frac {2}{5}}MR^{2}={\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}.}$

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.

${\displaystyle {\begin{aligned}J&={\frac {dJ_{0}}{dR}}dR={\frac {d}{dR}}\left({\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}\right)dR=\\&={\frac {8}{3}}\pi \rho R^{4}dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^{2}dR\right){\frac {2}{3}}R^{2}={\frac {2}{3}}mR^{2}.\end{aligned}}}$

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Вывод формулы

Разобьём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

${\displaystyle dm={\frac {mdr}{l}};\qquad dJ=r^{2}dm={\frac {mr^{2}dr}{l}}.}$

Интегрируя, получим

${\displaystyle J=\int _{-l/2}^{l/2}dJ=2\int _{0}^{l/2}dJ={\frac {2m}{l}}\int _{0}^{l/2}r^{2}dr={\frac {2m}{l}}\left.{\frac {r^{3}}{3}}\right|_{0}^{l/2}={\frac {2m}{l}}{\frac {l^{3}}{24}}={\frac {1}{12}}ml^{2}.}$

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Вывод формулы

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние ^l⁄₂. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

${\displaystyle J=J_{0}+mr^{2}=J_{0}+m\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}}ml^{2}+{\frac {1}{4}}ml^{2}={\frac {1}{3}}ml^{2}.}$

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников[2][3][4]

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины[1][7]:

${\displaystyle J_{xy}=\int \limits _{(m)}xydm=\int \limits _{(V)}xy\rho dV,}$

${\displaystyle J_{xz}=\int \limits _{(m)}xzdm=\int \limits _{(V)}xz\rho dV,}$

${\displaystyle J_{yz}=\int \limits _{(m)}yzdm=\int \limits _{(V)}yz\rho dV,}$

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции J_xy и J_xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции данного тела[7].

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции[7].

Геометрический момент инерции объёма относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой[8]:

${\displaystyle J_{Va}=\int \limits _{(V)}r^{2}dV,}$

где, как и ранее r — расстояние от элемента dV до оси a.

Размерность J_Va — длина в пятой степени (${\displaystyle \mathrm {dim} J_{Va}=\mathrm {L^{5}} }$), соответственно единица измерения СИ — м⁵.

Геометрический момент инерции площади относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой[8]:

${\displaystyle J_{Sa}=\int \limits _{(S)}r^{2}dS,}$

где интегрирование выполняется по поверхности S, а dS — элемент этой поверхности.

Размерность J_Sa — длина в четвёртой степени (${\displaystyle \mathrm {dim} J_{Sa}=\mathrm {L^{4}} }$), соответственно единица измерения СИ — м⁴. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката часто указывается в см⁴.

Через геометрический момент инерции площади выражается момент сопротивления сечения:

${\displaystyle W={\frac {J_{Sa}}{r_{max}}}.}$

Здесь r_max — максимальное расстояние от поверхности до оси.

Геометрические моменты инерции площади некоторых фигур
Прямоугольника высотой ${\displaystyle h}$ и шириной ${\displaystyle b}$:	${\displaystyle J_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}}$ ${\displaystyle J_{z}={\frac {hb^{3}}{12}}}$
Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle B}$, а по внутренним ${\displaystyle h}$ и ${\displaystyle b}$ соответственно	${\displaystyle J_{z}={\frac {BH^{3}}{12}}-{\frac {bh^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}(BH^{3}-bh^{3})}$ ${\displaystyle J_{y}={\frac {HB^{3}}{12}}-{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}(HB^{3}-hb^{3})}$
Круга диаметром ${\displaystyle d}$	${\displaystyle J_{y}=J_{z}={\frac {\pi d^{4}}{64}}}$

Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой плоскости называют скалярную величину, равную сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до рассматриваемой плоскости[9].

Если через произвольную точку ${\displaystyle O}$ провести координатные оси ${\displaystyle x,y,z}$, то моменты инерции относительно координатных плоскостей ${\displaystyle xOy}$, ${\displaystyle yOz}$ и ${\displaystyle zOx}$ будут выражаться формулами:

${\displaystyle J_{xOy}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}z_{i}^{2}\ ,}$

${\displaystyle J_{yOz}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}^{2}\ ,}$

${\displaystyle J_{zOx}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}^{2}\ .}$

В случае сплошного тела суммирование заменяется интегрированием.

Центральный момент инерции (момент инерции относительно точки O, момент инерции относительно полюса, полярный момент инерции) ${\displaystyle J_{O}}$  — это величина, определяемая выражением[9]:

${\displaystyle J_{a}=\int \limits _{(m)}r^{2}dm=\int \limits _{(V)}\rho r^{2}dV,}$

где:

• ${\displaystyle dm=\rho dV}$ — масса малого элемента объёма тела ${\displaystyle dV}$,
• ${\displaystyle \rho }$ — плотность,
• ${\displaystyle r}$ — расстояние от элемента ${\displaystyle dV}$ до точки O.

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые моменты инерции, а также через моменты инерции относительно плоскостей[9]:

${\displaystyle J_{O}={\frac {1}{2}}\left(J_{x}+J_{y}+J_{z}\right),}$

${\displaystyle J_{O}=J_{xOy}+J_{yOz}+J_{xOz}.}$

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором ${\displaystyle {\vec {s}}=\left\Vert s_{x},s_{y},s_{z}\right\Vert ^{T},\left\vert {\vec {s}}\right\vert =1}$, можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:

${\displaystyle I_{s}={\vec {s}}^{T}\cdot {\hat {J}}\cdot {\vec {s}},\qquad }$ (1)

где ${\displaystyle {\hat {J}}}$ — тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры ${\displaystyle 3\times 3}$ и состоит из компонент центробежных моментов:

${\displaystyle {\hat {J}}=\left\Vert {\begin{array}{ccc}J_{xx}&-J_{xy}&-J_{xz}\\-J_{yx}&J_{yy}&-J_{yz}\\-J_{zx}&-J_{zy}&J_{zz}\end{array}}\right\Vert ,}$

${\displaystyle J_{xy}=J_{yx},\quad J_{xz}=J_{zx},\quad J_{zy}=J_{yz},\quad }$${\displaystyle J_{xx}=\int \limits _{(m)}(y^{2}+z^{2})dm,\quad J_{yy}=\int \limits _{(m)}(x^{2}+z^{2})dm,\quad J_{zz}=\int \limits _{(m)}(x^{2}+y^{2})dm.}$

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора ${\displaystyle {\hat {J}}}$:

${\displaystyle {\hat {J}}_{d}={\hat {Q}}^{T}\cdot {\hat {J}}\cdot {\hat {Q}},}$

${\displaystyle {\hat {J}}_{d}=\left\Vert {\begin{array}{ccc}J_{X}&0&0\\0&J_{Y}&0\\0&0&J_{Z}\end{array}}\right\Vert ,}$

где ${\displaystyle {\hat {Q}}}$ — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины ${\displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z}}$ — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:

${\displaystyle I_{s}=J_{X}\cdot s_{x}^{2}+J_{Y}\cdot s_{y}^{2}+J_{Z}\cdot s_{z}^{2},}$

откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на ${\displaystyle I_{s}}$

${\displaystyle \left({s_{x} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}\cdot J_{X}+\left({s_{y} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}\cdot J_{Y}+\left({s_{z} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}\cdot J_{Z}=1}$

и произведя замены:

${\displaystyle \xi ={s_{x} \over {\sqrt {I_{s}}}},\eta ={s_{y} \over {\sqrt {I_{s}}}},\zeta ={s_{z} \over {\sqrt {I_{s}}}},}$

получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах ${\displaystyle \xi \eta \zeta }$:

${\displaystyle \xi ^{2}\cdot J_{X}+\eta ^{2}\cdot J_{Y}+\zeta ^{2}\cdot J_{Z}=1.}$

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:

${\displaystyle r^{2}=\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\left({s_{x} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}+\left({s_{y} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}+\left({s_{z} \over {\sqrt {I_{s}}}}\right)^{2}={1 \over I_{s}}.}$

• Матвеев. А. Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.)
• Трофимова Т. И. Курс физики. — 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2001. — 542 с.
• Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. Архивная копия от 7 января 2014 на Wayback Machine Издательство Физического факультета МГУ, 1997.
• Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
• Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — 560 с.
• Беляев Н. М. Сопротивление материалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. — 608 с.

• Определение момента инерции тел простой формы.