Ортогональная матрица

• Ортогональная матрица является унитарной (${\displaystyle Q^{-1}=Q^{*}}$) и, следовательно, нормальной (${\displaystyle Q^{*}Q=QQ^{*}}$).
• Столбцы и строки ортогональной матрицы образуют системы ортонормированных векторов, то есть:

${\displaystyle \sum _{i}A_{ij}A_{ik}=\delta _{jk}}$

и

${\displaystyle \sum _{i}A_{ji}A_{ki}=\delta _{jk}}$

где ${\displaystyle i\in \{1,\;\ldots ,\;n\}}$, ${\displaystyle n}$ — порядок матрицы, а ${\displaystyle \delta _{jk}}$ — символ Кронекера.

Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Это же справедливо и для столбцов.

• Определитель ортогональной матрицы равен ${\displaystyle \pm 1}$, что следует из свойств определителей:

  ${\displaystyle 1=\det(E)=\det(A^{T}A)=\det(A^{T})\det(A)=\det(A)\det(A)=\det(A)^{2}=1.}$

• Множество ортогональных матриц порядка ${\displaystyle n}$ над полем ${\displaystyle k}$ образует группу по умножению, так называемую ортогональную группу которая обозначается ${\displaystyle O_{n}(k)}$ или ${\displaystyle O(n,\;k)}$ (если ${\displaystyle k}$ опускается, то предполагается ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$).
• Линейный оператор, заданный ортогональной матрицей, переводит ортонормированный базис линейного пространства в ортонормированный.
• Матрица вращения является специальной ортогональной. Матрица отражения является ортогональной.
• Любая вещественная ортогональная матрица подобна блочно-диагональной матрице с блоками вида

${\displaystyle (\pm 1)}$ и ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}.}$

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}$ — единичная матрица

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0{,}96&-0{,}28\\0{,}28&\;\;\,0{,}96\\\end{pmatrix}}}$ — пример матрицы поворота

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}}$ — пример перестановочной матрицы

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos(\alpha )\cos(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\alpha )\cos(\beta )&-\cos(\alpha )\sin(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\cos(\gamma )\\\cos(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma )+\sin(\alpha )\cos(\gamma )&\cos(\alpha )\cos(\beta )&\cos(\alpha )\sin(\beta )\cos(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\gamma )\\\cos(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\beta )&\cos(\beta )\cos(\gamma )\end{pmatrix}}}$ — матрица поворота, выраженная через углы Эйлера

• Унитарная матрица
• Ортогональное преобразование
• Ортогональная группа
• Специальная ортогональная группа