Ортогональная группа

• Элементы ортогональной группы называются ортогональными (относительно ${\displaystyle Q}$) преобразованиями ${\displaystyle V}$, а также автоморфизмами формы ${\displaystyle Q}$ (точнее, автоморфизмами пространства ${\displaystyle V}$ относительно формы ${\displaystyle Q}$).
• Обозначается ${\displaystyle O_{n}}$, ${\displaystyle O_{n}(k)}$, ${\displaystyle O_{n}(Q)}$ и т. п. Когда квадратичная форма не указана явно, то подразумевается форма, задаваемая суммой квадратов координат, то есть выражающаяся единичной матрицей.
• Над полем действительных чисел, ортогональная группа незнакоопределённой формы с сигнатурой (${\displaystyle l}$ плюсов, ${\displaystyle m}$ минусов) где ${\displaystyle n=l+m}$, обозначается ${\displaystyle O(l,m)}$, см. напр. O(1,3).

• В случае, если характеристика основного поля не равна двум, то с ${\displaystyle Q}$ связана невырожденная симметрическая билинейная форма ${\displaystyle F}$ на ${\displaystyle V}$, определенная формулой

  ${\displaystyle F(u,\;v)={\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{2}}.}$

Тогда ортогональная группа состоит в точности из тех линейных преобразований пространства ${\displaystyle V}$, которые сохраняют ${\displaystyle F}$, и обозначается через ${\displaystyle O_{n}(k,\;F)}$ или (когда ясно о каком поле ${\displaystyle k}$ и форме ${\displaystyle F}$ идёт речь) просто через ${\displaystyle O_{n}}$.

• Если ${\displaystyle B}$ — матрица формы ${\displaystyle F}$ в неком базисе пространства ${\displaystyle V}$, то ортогональная группа может быть отождествлена с группой всех таких матриц ${\displaystyle A}$ с коэффициентами в ${\displaystyle k}$, что

  ${\displaystyle A^{T}BA=B.}$

  В частности, если базис таков, что ${\displaystyle Q}$ является суммой квадратов координат (то есть, матрица ${\displaystyle B}$ единична), то такие матрицы ${\displaystyle A}$ называются ортогональными.

• Над полем вещественных чисел, группа ${\displaystyle O_{n}({\mathbb {R} },\;V)}$ компактна тогда и только тогда, когда форма ${\displaystyle Q}$ знакоопределена.
  • В этом случае любой элемент из ${\displaystyle O_{n}({\mathbb {R} })}$, для подходящего базиаса представляется как блочно-диагональная матрица

    ${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}}}$

где R₁, ..., R_k — 2х2 матрицы поворотов; теорема вращения Эйлера является частным случем этого утверждения.

Ортогональная группа является подгруппой полной линейной группы GL(${\displaystyle n}$). Элементы ортогональной группы, определитель которых равен 1 (это свойство не зависит от базиса), образуют подгруппу — специальную ортогональную группу ${\displaystyle SO(n,Q)}$, обозначаемую так же, как и ортогональная группа, но с добавлением буквы «S». ${\displaystyle SO(n,Q)}$, по построению, является также подгруппой специальной линейной группы ${\displaystyle SL(n)}$.

• SO(8)

• Orthogonal group

• Исаев А. П., Рубаков В. А. Теория групп и симметрий. Конечные группы. Группы и алгебры Ли. Изд-во URSS. 2018. 491 с