Группа Лоренца

Гру́ппа Ло́ренца — группа преобразований Лоренца пространства Минковского, сохраняющих начало координат (то есть являющихся линейными операторами)[1].

Группа Лоренца состоит из однородных линейных преобразований координат четырёхмерного пространства-времени:

${\displaystyle x_{\nu }'=\sum _{\mu }L_{\nu \mu }x_{\mu },}$

${\displaystyle x_{0}=ct,\quad x_{1}=x,\quad x_{2}=y,\quad x_{3}=z,}$

которые оставляют инвариантной квадратичную форму с сигнатурой (1, 3), которая является математическим выражением четырёхмерного интервала ${\displaystyle s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$[2]. В частности, группа Лоренца включает пространственные повороты в трёх плоскостях ${\displaystyle xy,\ yz,\ zx}$, лоренцевы преобразования ${\displaystyle xt,\ yt,\ zt}$, отражения пространственных осей ${\displaystyle x,y,z}$: ${\displaystyle x\to -x,\ y\to -y,\ z\to -z}$ и все их произведения.

Группа Лоренца — частный случай неопределённой ортогональной группы[3], и поэтому обозначается ${\displaystyle O(1,3)}$ (либо ${\displaystyle O(3,1)}$, что соответствует квадратичной форме с противоположными знаками и переставленными координатами), ${\displaystyle O(1,3;\mathbb {R} )}$ или ${\displaystyle \mathrm {O} _{1,3}(\mathbb {R} )}$, а также ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$[2].

Специальная группа Лоренца или собственная группа Лоренца ${\displaystyle SO(1,3)}$ — подгруппа преобразований, определитель матрицы которых равен 1 (в общем случае он равен ±1).

Ортохронная группа Лоренца ${\displaystyle O_{\uparrow }(1,3)}$ (также обозначается ${\displaystyle \mathrm {O} _{1,3}^{+}(\mathbb {R} )}$, и она может быть отождествлена с проективной (неопределённой) ортогональной группой ${\displaystyle \mathrm {PO} _{1,3}(\mathbb {R} )}$), специальная (или собственная) ортохронная группа Лоренца ${\displaystyle SO_{\uparrow }(1,3)}$ — аналогично, но все преобразования сохраняют направление будущего во времени (знак координаты ${\displaystyle x^{0}}$). Группа ${\displaystyle SO_{\uparrow }(1,3)}$, единственная из четырёх, является связной и изоморфна группе Мёбиуса.

Иногда условие ортохронности включают в определение группы Лоренца, в этом случае группа, включающая преобразования, которые меняют направление времени, может называться общей группой Лоренца[4][5]. Иногда также под группой Лоренца подразумевают собственную ортохронную группу Лоренца[6].