Спин

Пример объекта, который требует поворота на 720° для возврата в начальное положение

Хотя термин «спин» относится только к квантовым свойствам частиц, свойства некоторых циклически действующих макроскопических систем тоже могут быть описаны неким числом, которое показывает, на сколько частей нужно разделить цикл вращения некоего элемента системы, чтобы она вернулась в состояние, неотличимое от начального.

Легко представить себе спин, равный 0: это точка — она со всех сторон выглядит одинаково, как её ни крути.

Примером спина, равного 1, может служить большинство обычных предметов без какой-либо симметрии: если такой предмет повернуть на 360°, то этот предмет вернётся в своё первоначальное состояние. Для примера — можно положить ручку на стол, и после поворота на 360° ручка опять будет лежать так же, как и до поворота.

В качестве примера спина, равного 2, можно взять любой предмет с одной осью центральной симметрии: если его повернуть на 180°, он будет неотличим от исходного положения, и получается, что за один полный оборот он становится неотличим от исходного положения 2 раза. Примером из жизни может служить обычный карандаш, только заточённый с двух сторон или не заточённый вообще — главное чтобы был без надписей и однотонный — и тогда после поворота на 180° он вернётся в положение, неотличимое от исходного. Хокинг в качестве примера приводил обычную игральную карту типа короля или дамы[6]

Четырёхтактный двигатель возвращается в исходное состояние при повороте коленчатого вала на 720°, что является неким аналогом полуцелого спина

А вот с полуцелым спином, равным ¹/₂ немножко сложнее: в исходное положение система возвращается после 2 полных оборотов, то есть после поворота на 720°. Примеры:

• Если взять ленту Мёбиуса и представить, что по ней ползёт муравей, тогда, сделав один оборот (пройдя 360°), муравей окажется в той же точке, но с другой стороны листа, а чтобы вернуться в точку, откуда он начал, придётся пройти все 720°.
• Четырёхтактный двигатель внутреннего сгорания. При повороте коленчатого вала на 360° поршень вернётся в исходное положение (например, верхнюю мёртвую точку), но распределительный вал вращается в 2 раза медленнее и совершит полный оборот при повороте коленчатого вала на 720°. То есть при повороте коленчатого вала на 2 оборота двигатель внутреннего сгорания вернётся в то же состояние. В этом случае третьим измерением будет положение распределительного вала.

На подобных примерах можно проиллюстрировать сложение спинов:

• Два заточенных только с одной стороны одинаковых карандаша («спин» каждого — 1), скреплённые боковыми сторонами друг с другом так, что острый конец одного будет рядом с тупым концом другого (↑↓). Такая система вернётся в неотличимое от начального состояния при повороте всего на 180°, то есть «спин» системы стал равным двум.
• Многоцилиндровый четырёхтактный двигатель внутреннего сгорания («спин» каждого из цилиндров которого равен 1/2). Если все цилиндры работают одинаково, то состояния, при которых поршень находится в начале такта рабочего хода в любом из цилиндров, будут неотличимы. Следовательно, двухцилиндровый двигатель будет возвращаться в состояние, неотличимое от исходного, через каждые 360° (суммарный «спин» — 1), четырёхцилиндровый — через 180° («спин» — 2), восьмицилиндровый — через 90° («спин» — 4).

Любая частица может обладать двумя видами углового момента: орбитальным угловым моментом и спином.

В отличие от орбитального углового момента, который порождается движением частицы в пространстве, спин не связан с движением в пространстве. Спин — это внутренняя, исключительно квантовая характеристика, которую нельзя объяснить в рамках релятивистской механики. Если представлять частицу (например, электрон) как вращающийся шарик, а спин как момент, связанный с этим вращением, то оказывается, что поперечная скорость движения оболочки частицы должна быть выше скорости света, что недопустимо с позиции релятивизма.

Будучи одним из проявлений углового момента, спин в квантовой механике описывается векторным оператором спина ${\displaystyle {\hat {\vec {s}}},}$ алгебра компонент которого полностью совпадает с алгеброй операторов орбитального углового момента ${\displaystyle {\hat {\vec {\ell }}}.}$ Однако, в отличие от орбитального углового момента, оператор спина не выражается через классические переменные, иными словами, это только квантовая величина. Следствием этого является тот факт, что спин (и его проекции на какую-либо ось) может принимать не только целые, но и полуцелые значения (в единицах постоянной Дирака ħ).

Спин испытывает квантовые флуктуации. В результате квантовых флуктуаций строго определённое значение может иметь только одна компонента спина — например, ${\displaystyle J_{z}}$. При этом компоненты ${\displaystyle J_{x},J_{y}}$ флуктуируют вокруг среднего значения. Максимально возможное значение компоненты ${\displaystyle J_{z}}$ равно ${\displaystyle J}$. В то же время квадрат ${\displaystyle J^{2}}$ всего вектора спина равен ${\displaystyle J(J+1)}$. Таким образом, ${\displaystyle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}\geqslant J}$. При ${\displaystyle J={\frac {1}{2}}}$ среднеквадратические значения всех компонентов из-за флуктуаций равны ${\displaystyle {\widehat {J_{x}^{2}}}={\widehat {J_{y}^{2}}}={\widehat {J_{z}^{2}}}={\frac {1}{4}}}$[2].

Вектор спина меняет своё направление при преобразовании Лоренца. Ось этого поворота перпендикулярна импульсу частицы и относительной скорости систем отсчёта[8].

Вследствие того, что все элементарные частицы одного и того же сорта тождественны, волновая функция системы из нескольких одинаковых частиц должна быть либо симметричной (то есть не изменяется), либо антисимметричной (домножается на −1) относительно перестановки местами двух любых частиц. В первом случае говорят, что частицы подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна и называются бозонами. Во втором случае частицы описываются статистикой Ферми — Дирака и называются фермионами.

Оказывается, именно значение спина частицы говорит о том, каковы будут эти симметрийные свойства. Сформулированная Вольфгангом Паули в 1940 году теорема о связи спина со статистикой утверждает, что частицы с целым спином (s = 0, 1, 2, …) являются бозонами, а частицы с полуцелым спином (s = 1/2, 3/2, …) — фермионами[1].

Введение спина является удачным применением новой физической идеи: постулирование того, что существует пространство состояний, никак не связанных с перемещением частицы в обычном пространстве. Обобщение этой идеи в ядерной физике привело к понятию изотопического спина, который действует в особом изоспиновом пространстве. В дальнейшем при описании сильных взаимодействий были введены внутреннее цветовое пространство и квантовое число «цвет» — более сложный аналог спина.

Понятие спина было введено в квантовой теории. Тем не менее, в релятивистской механике можно определить спин классической (не квантовой) системы как собственный момент импульса[11]. Классический спин является 4-вектором и определяется следующим образом:

${\displaystyle S_{\nu }={\frac {1}{2}}\,\varepsilon _{\nu \alpha \beta \gamma }\,L^{\alpha \beta }\,U^{\gamma },}$

где

${\displaystyle L^{\alpha \beta }=\sum (x^{\alpha }p^{\beta }-x^{\beta }p^{\alpha })}$ — тензор полного момента импульса системы (суммирование проводится по всем частицам системы);

${\displaystyle U^{\alpha }=P^{\alpha }/M}$ — суммарная 4-скорость системы, определяемая при помощи суммарного 4-импульса ${\displaystyle P^{\alpha }=\sum p^{\alpha }}$ и массы M системы;

${\displaystyle \varepsilon _{\nu \alpha \beta \gamma }}$ — тензор Леви-Чивиты.

В силу антисимметрии тензора Леви-Чивиты, 4-вектор спина всегда ортогонален к 4-скорости ${\displaystyle U^{\alpha }.}$ В системе отсчёта, в которой суммарный импульс системы равен нулю, пространственные компоненты спина совпадают с вектором момента импульса, а временная компонента равна нулю.

Именно поэтому спин называют собственным моментом импульса.

В квантовой теории поля это определение спина сохраняется. В качестве момента импульса и суммарного импульса выступают интегралы движения соответствующего поля. В результате процедуры вторичного квантования 4-вектор спина становится оператором с дискретными собственными значениями.

• Физическая энциклопедия / Под ред. А. М. Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 1994. — ISBN 5-85270-087-8.
• Richard G. Milner. A Short History of Spin (англ.) // Contribution to the XVth International Workshop on Polarized Sources, Targets, and Polarimetry. — Charlottesville, Virginia, USA, September 9-13, 2013. — arXiv:1311.5016.
• Широков Ю.М., Юдин Н.П. Ядерная физика. — М.: Наука, 1972. — 672 с.
• Ширков Д. В. Физика микромира. — М.: Советская энциклопедия, 1980. — 527 с.
• Паули В. Общие принципы волновой механики. — М.: ОГИЗ, 1947. — 333 с.

• Hipple, J. A.; Sommer, H.; Thomas, H.A. (1949). “A precise method of determining the faraday by magnetic resonance”. Physical Review. 76 (12): 1877—1878. Bibcode:1949PhRv...76.1877H. DOI:10.1103/PhysRev.76.1877.2.
• Cohen-Tannoudji, Claude. Quantum Mechanics / Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë. — 2 volume set. — John Wiley & Sons, 2006. — ISBN 978-0-471-56952-7.
• Condon, E. U. Especially Chapter 3 // The Theory of Atomic Spectra / E. U. Condon, G. H. Shortley. — Cambridge University Press, 1935. — ISBN 978-0-521-09209-8.