4-вектор

Здесь и далее используется сигнатура ${\displaystyle (+,~-,~-,~-)}$.

• 4-перемещение

  ${\displaystyle dx^{i}=(cdt,~dx,~dy,~dz),}$

• 4-скорость

  ${\displaystyle u^{i}={\frac {dx^{i}}{ds}}={\frac {1}{c}}{\frac {dx^{i}}{d\tau }},}$ где ${\displaystyle \tau }$ — «собственное время», равное деленному на скорость света интервалу, ${\displaystyle \tau ={\frac {1}{c}}\int {ds}}$, измеренному вдоль мировой линии. Геометрически 4-скорость является единичным вектором, касательным к мировой линии частицы.

• 4-ускорение

  ${\displaystyle a^{i}={\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {1}{c}}{\frac {du^{i}}{d\tau }},}$ где ${\displaystyle \tau }$ — см. выше. Геометрически 4-ускорение является вектором кривизны мировой линии частицы.

• 4-вектор энергии-импульса (четырёхимпульс)

  ${\displaystyle p^{i}=\left({\frac {\varepsilon }{c}},~p_{x},~p_{y},~p_{z}\right)}$. Для частицы с ненулевой массой в отсутствие внешних полей ${\displaystyle p^{i}=c\,mu^{i}}$.

• четырёхмерная плотность тока (4-ток)

  ${\displaystyle j^{i}=(c\rho ,~j_{x},~j_{y},~j_{z});}$

• волновой 4-вектор

  ${\displaystyle k_{i}=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right);}$

• Электромагнитный потенциал

  ${\displaystyle A_{i}=(\varphi ,~-A_{x},~-A_{y},~-A_{z}).}$

• Закон преобразования четырёхвектора:

${\displaystyle {\tilde {A}}^{i}=\sum _{j}S_{j}^{i}\ A^{j},}$

где ${\displaystyle S_{j}^{i}}$ — матрица из группы Лоренца — матрица перехода к новым координатам (к новой системе отсчёта).

• Скалярные произведения (в частности, квадраты) 4-векторов вычисляются с использованием метрики Лоренца (см. также ниже).
  • Они инвариантны относительно преобразований Лоренца. Они называются скалярами (в четырёхмерном — пространственно-временном — смысле).
  • Например, это интервал (квадрат интервала есть квадрат вектора перемещения в метрике Лоренца), масса (масса покоя) — её квадрат есть, с точностью до постоянного множителя, квадрат 4-импульса: ${\displaystyle m^{2}=E^{2}/c^{4}-p^{2}/c^{2}}$ и т. д.

Традиционно используется обозначение 4-вектора как совокупности его компонент. Так 4-вектор ${\displaystyle a}$ обозначается как: ${\displaystyle a^{i}}$ (не нужно путать это обозначение с возведением в степень!) или ${\displaystyle a_{i}.}$

Координаты, 3 пространственные и временную, обычно обозначают как ${\displaystyle x^{i}.}$

Что означает при этом использование верхнего (${\displaystyle a^{i}}$) или нижнего (${\displaystyle a_{i}}$) индекса, оговаривается особо, но по умолчанию, если используется тот и другой (или хотя бы первый) вариант, то есть, если верхние индексы вообще используют, верхним индексом обозначают контравариантные координаты 4-вектора, а нижним — ковариантные координаты. Таким образом, в этом случае один и тот же вектор может иметь два разных представления — контравариантное и ковариантное.

В случае плоского пространства и инерциальных систем отсчёта, как в электродинамике, специальной теории относительности и вообще в случаях, когда гравитацией можно пренебречь, ковариантное и контравариантное представление отличаются лишь знаком временно́й (или наоборот, в зависимости от условно принятой сигнатуры — пространственных) компоненты. При этом скалярное произведение представимо как простая сумма произведений соответствующих компонент только для произведения ковариантного вектора с контравариантным, например:

${\displaystyle (a,b)=a^{i}b_{i}\equiv \sum _{i}a^{i}b_{i}=a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}+a^{4}b_{4}=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}}$

и в частности

${\displaystyle (a)^{2}=(a,a)=a^{i}a_{i}\equiv \sum _{i}a^{i}a_{i}=a^{1}a_{1}+a^{2}a_{2}+a^{3}a_{3}+a^{4}a_{4}=(a_{1})^{2}-(a_{2})^{2}-(a_{3})^{2}-(a_{4})^{2}}$

(здесь и ниже использовано правило суммирования по повторяющемуся индексу Эйнштейна, а возведение в квадрат обозначено как (…)²).

Если же хотят написать скалярное произведение с использованием только ковариантных или только контравариантных компонент, обычно используют запись с метрикой Лоренца ${\displaystyle \eta _{ij}}$ (или ${\displaystyle \eta ^{ij}}$):

${\displaystyle (a,b)=\eta _{ij}a^{i}b^{j}\equiv \sum _{i,j}\eta _{ij}a^{i}b^{i}=a^{1}b^{1}-a^{2}b^{2}-a^{3}b^{3}-a^{4}b^{4}}$

или

${\displaystyle (a,b)=\eta ^{ij}a_{i}b_{j}\equiv \sum _{i,j}\eta ^{ij}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}}$

(оба способа эквивалентны друг другу и описанному выше способу со обоими типами координат).

Однако в более общем случае нелоренцевых систем отсчёта, в том числе при учёте гравитации в соответствии с ОТО, вместо очень простой и постоянной лоренцевой метрики ${\displaystyle \eta _{ij}}$ приходится рассматривать произвольную, в том числе зависящую от пространственных координат и времени метрику ${\displaystyle g_{ij}.}$ (Во всех формулах, написанных в этом параграфе выше, надо в общем случае заменить ${\displaystyle \eta _{ij}}$ на ${\displaystyle g_{ij}}$, а ${\displaystyle \eta ^{ij}}$ на ${\displaystyle g^{ij}}$). При этом простое правило о том, что ковариантное и контравариантное представление 4-вектора различаются лишь знаком пространственных компонент, перестаёт действовать, они начинают выражаться друг через друга с использованием также метрики ${\displaystyle g_{ij}}$ общего вида (см. Метрический тензор#Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством):

${\displaystyle a^{i}=g^{ij}a_{j}\equiv \sum _{j}g^{ij}a_{j},}$

${\displaystyle a_{i}=g_{ij}a^{j}\equiv \sum _{j}g_{ij}a^{j}.}$

(Как видим, эти формулы были верны и для ${\displaystyle \eta _{ij},}$ но в том случае сводились к простому правилу перемены знака некоторых компонент, а здесь — в общем случае — уже не сводятся).

Заметим также, что в пространстве-времени с кривизной (которое уже правильно считать только многообразием, а не векторным пространством), совокупность координат ${\displaystyle x^{i}}$ уже не является вектором. Однако бесконечно малые смещения по координатам ${\displaystyle dx^{i}}$ представляют вектор (вектор касательного пространства к многообразию в точке ${\displaystyle x^{i}}$).

И наконец, в случае лоренцевой метрики, рассмотренном выше, нередко используют только нижние индексы, так как ковариантные и контравариантные компоненты различаются только знаком, и можно ограничиваться упоминанием только одних из них (обычно — контравариантных, хотя и используя нижний индекс). Этот способ для этого случая сравнительно удобен, так как отсутствие верхних индексов несколько более привычно для неспециалистов, к тому же не может создать путаницы с обозначением возведения в степень. Однако и он имеет подводные камни, так как, например, вектор 4-градиента, записанный в контравариантном виде, довольно неожиданно имеет знак минус у пространственных компонент: ${\displaystyle (\partial _{0},-\partial _{1},-\partial _{2},-\partial _{3}),}$ так как полный дифференциал ${\displaystyle df=\partial _{0}fdx^{0}+\partial _{1}fdx^{1}+\partial _{2}fdx^{2}+\partial _{3}fdx^{3}}$ — должен быть инвариантным, а в формулу скалярного произведения, если оба вектора представлены в одинаковой контравариантной форме, входит, как мы знаем, изменение знака из-за ${\displaystyle \eta _{ij}.}$

Интересно, что способ с использованием только нижних индексов и мнимой временно́й компоненты лишён этих недостатков (главным образом в области применимости, ограниченной случаем плоского пространства, но не только). Дело в том, что при использовании этого способа нужные знаки получаются автоматически (внимание: с учетом сигнатуры; впрочем, выбор сигнатуры — всё равно дело договоренности). То есть о знаках вообще не нужно думать, не нужно использовать явно матрицу метрического тензора, даже ${\displaystyle \eta _{ij},}$ то есть метрика формально представлена единичной матрицей («формально евклидовская», что, конечно, не меняет её реально псевдоевклидова характера, но упрощает запись), а представление всех 4-векторов просто и единообразно:

• 4-перемещение ${\displaystyle dx_{\mu }=(ic~dt,dx,dy,dz),}$
• 4-импульс ${\displaystyle p_{\mu }=(iE/c,p_{x},p_{y},p_{z}),}$
• четырёхмерная плотность тока ${\displaystyle j_{\mu }=(ic\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}),}$
• волновой 4-вектор ${\displaystyle k_{\mu }=(i\omega /c,k_{x},k_{y},k_{z}),}$
• электромагнитный потенциал ${\displaystyle A_{\mu }=(i\phi ,A_{x},A_{y},A_{z}),}$

и т. д., где i — мнимая единица.

Точка в пространстве Минковского называется событием и задаётся четырьмя координатами:

${\displaystyle \mathbf {x}$ :=\left(ct,x,y,z\right),}

где ${\displaystyle c}$ — скорость света, ${\displaystyle t}$ — время события, а ${\displaystyle x,y,z}$ — его пространственные координаты. Такой 4-вектор называется 4-радиус-вектором.

Многие другие 4-векторы могут быть построены из него и далее друг из друга сложением, вычитанием, умножением или делением на скаляр, а также дифференцированием по скаляру и т. п. Так из 4-радиус-вектора дифференцированием по собственному времени получается 4-скорость, и т. д.

Скалярные произведения 4-векторов — лоренц-инвариантные величины (инварианты группы Лоренца), скаляры пространства Минковского.

4-векторы впервые рассмотрели Пуанкаре (1905) и затем Минковский. Они рассматривали временную компоненту 4-вектора чисто мнимой, что автоматически порождало нужное правило вычисления скалярного произведения при обычном суммировании произведений компонент. Термин «4-вектор» был предложен Арнольдом Зоммерфельдом в 1910 году.

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. § 2. Интервал. § 3. Собственное время. § 6. Четырёхмерные векторы. § 7. Четырёхмерная скорость. // Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7..
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 6: Электродинамика. Перевод с английского (издание 3). — Эдиториал УРСС. — ISBN 5-354-00704-6. — гл. 25. «Электродинамика в релятивистских обозначениях». (Это простое введение для студентов младших курсов; во избежание путаницы следует обратить внимание, что в этой книге используются только нижние индексы, относящиеся, однако, к контравариантным компонентам 4-векторов).