Ковариантность и контравариантность (математика)

     вектор v, описанный в терминах

касательного базиса

     e₁, e₂, e₃ в      координатных кривых (слева),

дуального базиса, ковекторного базиса или взаимного базиса

     e¹, e², e³ в      координатных поверхностях (справа),

в 3-d общих криволинейных координатах (q¹, q², q³), кортеж чисел для определения точки в координатном пространстве. Обратите внимание, что базис и кобазис совпадают только тогда, когда базис ортогональный.[1]

Пусть ${\displaystyle V}$ — некоторое конечномерное векторное пространство, и в нём задан некоторый базис ${\displaystyle e_{i},i=1..n}$. Произвольный вектор ${\displaystyle x}$ можно представить как линейную комбинацию векторов базиса: ${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}}$. В целях упрощения записи (и по причинам, которые станут ясны ниже) обозначим координаты с верхним индексом и примем правило Эйнштейна: если в выражении участвуют одинаковые разноуровневые индексы, то по ним предполагается суммирование. Таким образом, можно записать: ${\displaystyle x=x^{i}e_{i}}$. Зададим новый базис с помощью матрицы преобразования ${\displaystyle S}$. По тем же соображениям введём нижние и верхние индексы (чтобы не писать знаки суммирования) — ${\displaystyle S_{i}^{j}}$. Тогда ${\displaystyle e'_{i}=S_{i}^{j}e_{j}}$ (предполагается суммирование по индексу j). Обозначив обратную матрицу ${\displaystyle T=S^{-1}}$, можно записать: ${\displaystyle e_{j}=T_{j}^{i}e'_{i}}$. Подставив эту формулу в координатное представление вектора x, получим: ${\displaystyle x=x^{j}T_{j}^{i}e'_{i}}$. Таким образом, координаты вектора в новом базисе оказываются равными ${\displaystyle x'^{i}=T_{j}^{i}x^{j}}$, то есть преобразуются «противоположно» (обратно) изменению базиса. По этой причине такие векторы называют контравариантными — изменяющимися противоположно базису. Контравариантные векторы — это обычные векторы. Контравариантные векторы в координатном представлении обычно записывают как «вектор-столбец». Для идентификации контравариантных векторов используется верхний, или контравариантный, индекс.

Пространство всех линейных функционалов, отображающих векторы в числа, называют сопряжённым пространством ${\displaystyle V^{*}}$. Оно также является векторным пространством той же размерности, что и основное пространство. В этом пространстве также можно определить базис. Обозначим элементы базиса сопряжённого пространства с верхним индексом ${\displaystyle g^{i}}$. Любой функционал можно представить в этом базисе через координаты, которые будем обозначать нижними индексами. Тогда, применяя правило Эйнштейна, можем записать: ${\displaystyle f=f_{i}g^{i}}$, то есть любой линейный функционал можно записать просто набором чисел ${\displaystyle f_{i}}$, как обычный вектор (за исключением нижнего расположения индекса).

Выберем базис в сопряженном пространстве так, что ${\displaystyle g^{i}(x)=x^{i}}$, то есть эти функционалы находят ${\displaystyle i}$-ю координату вектора (проекцию на базисный вектор ${\displaystyle e_{i}}$). Такой базис называют дуальным (базису основного пространства). При смене базиса основного пространства необходимо сохранить это условие, то есть ${\displaystyle g'^{i}(x)=x'^{i}=T_{j}^{i}x^{j}=T_{j}^{i}g^{j}(x)}$. Таким образом, дуальный базис изменяется обратно изменению основного базиса. Координаты произвольного линейного функционала ${\displaystyle f_{i}}$ будут меняться противоположно собственному базису (как и в любом пространстве), то есть с помощью матрицы ${\displaystyle T^{-1}=S}$. Следовательно, они будут меняться так, как основной базис. Это свойство называют ковариантностью. Сами линейные функционалы в координатном представлении в дуальном базисе называют ковариантными векторами, или кратко — ковекторами. Внешне ковектор «выглядит» как обычный вектор — в смысле обычного набора чисел, представляющих его координаты. Отличие ковектора от контрвариантного вектора заключается в правиле преобразования его координат при смене базиса: они преобразуются так, как базис, в отличие от контравариантных векторов, преобразующихся противоположно базису. Ковекторы в координатной форме записывают как «вектор-строку». Для идентификации ковекторов используется нижний, или ковариантный, индекс.

Сказанное про контравариантность и ковариантность векторов можно обобщить на объекты с несколькими индексами — тензоры, частными случаями которых и являются векторы и ковекторы.

По аналогии с линейным функционалом рассмотрим функционал, ставящий в соответствие нескольким (${\displaystyle k}$) векторам пространства ${\displaystyle V}$ некоторое число, обладающий свойством линейности по каждому вектору. Это так называемые полилинейные функции. Можно показать, что все ${\displaystyle k}$-линейные функции образуют линейное пространство, в котором можно также ввести базис и представить произвольную ${\displaystyle k}$-линейную функцию в координатном виде. Можно также показать, что их координаты преобразуются как базис основного пространства (так же как и ковариантные векторы). Поэтому такие полилинейные функции называют ${\displaystyle k}$ раз ковариантными тензорами. Их записывают с нижними индексами. Например, дважды ковариантный тензор обозначается так ${\displaystyle A_{ij}}$.

Аналогично можно рассматривать полилинейные функции не в основном пространстве, а в сопряженном пространстве ${\displaystyle V^{*}}$, совокупность которых также образует линейное пространство ${\displaystyle V^{**}}$, которое является сопряженным к ${\displaystyle V^{*}}$. В координатном представлении в дуальном базисе они преобразуются так же, как базис пространства ${\displaystyle V^{*}}$, а значит — противоположно базису основного пространства ${\displaystyle V}$. То есть они обладают свойством контравариантности и называются ${\displaystyle k}$ раз контравариантным тензором. Их обозначают с верхними индексами. В частности, дважды контравариантный тензор запишется как ${\displaystyle A^{ij}}$.

Для рассматриваемых обычно пространств выполняется так называемый канонический изоморфизм ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle V^{**}}$, то есть эти пространства можно считать неразличимыми. Поэтому 1-раз контравариантный тензор можно считать эквивалентным обычному контравариантному вектору.

Обобщая приведённые определения, можно рассматривать полилинейные функции от векторов и ковекторов одновременно. Соответственно, при смене базиса координатная запись такой функции будет преобразовываться с участием как матрицы преобразования основного базиса (в количестве ковекторов, участвующих в полилинейной функции), так и обратного ему (в количестве векторов полилинейной функции). Соответствующий тензор называют m раз контравариантным и k раз ковариантным — ${\displaystyle T_{k}^{m}}$. Для ковариантных компонент используют нижние индексы, для контравариантных — верхние. Например, 1-раз контравариантный и 1 раз ковариантный тензор обозначается ${\displaystyle A_{j}^{i}}$. Общее количество индексов ${\displaystyle k+m}$ называется рангом, или валентностью, тензора. Компонентами тензора являются значения полилинейной функции на базисных векторах. Например, ${\displaystyle A_{j}^{i}=A(e^{i},e_{j})}$.

Операция суммирования по одинаковым разноуровневым индексам тензоров называется свёрткой по этим индексам. Как уже было указано выше, по правилу Эйнштейна знак суммирования пропускают. В результате свёртки тензора по паре индексов его ранг уменьшается на 2. Например, отображение некоторого контравариантного вектора с помощью некоторого линейного оператора в тензорной записи будет иметь вид ${\displaystyle y^{i}=A_{j}^{i}x^{j}}$. Линейные операторы являются классическим примером тензора типа ${\displaystyle T_{1}^{1}}$.

При преобразовании тензора типа ${\displaystyle T_{k}^{m}}$ при смене базиса m раз используется прямая матрица преобразования базиса и k раз обратная. Например, тензор ${\displaystyle A_{j}^{i}}$ типа ${\displaystyle T_{1}^{1}}$ при смене базиса преобразуется следующим образом:

${\displaystyle A_{j'}^{i'}=T_{j'}^{q}S_{p}^{i'}A_{q}^{p}}$

Вообще, необходимо понимать, что сам объект от представления его в базисе не зависит. Все преобразования — это представления одного и того же объекта (тензора).

Если в линейном пространстве введено скалярное произведение ${\displaystyle g}$ — билинейная форма (или в тензорной терминологии — дважды ковариантный тензор), обладающая свойствами симметричности и невырожденности, то такие пространства (конечномерные) называют евклидовыми (при условии положительной определённости соответствующей квадратичной формы ${\displaystyle g(x,x)}$) или псевдоевклидовым (без ограничения знака квадратичной формы). Соответствующий этой билинейной форме тензор называют метрическим тензором. Компоненты этого тензора в данном базисе ${\displaystyle g_{ij}=g(e_{i},e_{j})}$. Если этот базис ортонормированный (такой базис всегда существует в (псевдо)евклидовом пространстве), то матрица компонент является диагональной. На диагонали в случае евклидового пространства — единицы (единичная матрица). В случае псевдоевклидового пространства на диагонали кроме единиц имеются также и «минус-единицы». В общем случае, однако, базисы могут быть не ортогональными, поэтому метрический тензор может быть представлен и недиагональной матрицей (тем не менее в «плоском» пространстве всегда существует преобразование базиса, которое приводит его к диагональному виду).

С помощью метрического тензора скалярное произведение запишется как ${\displaystyle g(x,y)=g_{ij}x^{i}y^{j}}$. В пространствах со скалярным произведением имеет место канонический изоморфизм пространства ${\displaystyle V}$ и сопряжённого пространства ${\displaystyle V^{*}}$, то есть каждому вектору ставится в соответствие ковектор и наоборот. Это соответствие осуществляется как раз с помощью скалярного произведения или в тензорной записи — с помощью метрического тензора. А именно, можно записать ${\displaystyle x_{i}=g_{ij}x^{j}}$. Эта операция называется опусканием или спуском индекса. Обратное соответствие осуществляется с помощью контравариантного метрического тензора ${\displaystyle x^{j}=g^{ij}x_{i}}$. Эта операция называется поднятием или подъёмом индекса. Несложно показать, что матрицы ковариантного и контравариантного метрических тензоров взаимно-обратны, то есть ${\displaystyle g_{ik}g^{kj}=\delta _{i}^{j}}$. Скалярное произведение можно выразить как в контравариантных, так и в ковариантных векторах: ${\displaystyle g(x,y)=g_{ij}x^{i}y^{j}=x_{i}y^{i}=x^{i}y_{i}=g^{ij}x_{i}y_{j}}$.

В случае ортонормированного базиса в евклидовом пространстве метрический тензор — единичная матрица, поэтому ковариантный вектор в координатной записи совпадает с контравариантным. Поэтому в этом случае деление векторов на контравариантные и ковариантные не является необходимым. Однако уже при неортогональности базиса и (или) псевдоевклидовости пространства такое разграничение имеет значение. В псевдоевклидовом пространстве в ортогональном базисе ковекторы различаются знаками некоторых координат от обычного вектора. Система векторов и ковекторов в таком случае позволяет записывать формулу для квадрата длины вектора аналогично случаю евклидового пространства ${\displaystyle x_{i}x^{i}}$. В случае неортогональных (косоугольных) базисов в евклидовых (псевдоевклидовых) пространствах метрический тензор, преобразующий контравариантные векторы в ковариантные, не является диагональным. При этом длина вектора записывается также как в евклидовом пространстве с помощью контравариантных и ковариантных векторов. Все эти случаи объединяет одно — метрический тензор (в данном базисе) имеет одинаковую матрицу для всех точек (векторов) пространства.

В пространствах с метрическим тензором «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» являются фактически разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — обычного вектора или ковектора. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть набор ковариантных координат) и контравариантный (то есть набор контравариантных координат). То же можно сказать о ковекторе. Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с метрическим тензором. Содержательно же векторы и ковекторы различают лишь по тому, какое из представлений для них естественно. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление. Для ковариантного вектора естественным является свертка с обычными векторами без участия метрики. Примером ковариантного вектора является градиент скалярной функции ${\displaystyle \mathbf {grad} f(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}=\partial _{i}f}$. Его свёртка с контравариантным (обычным) вектором ${\displaystyle dx^{i}}$ даёт инвариант — дифференциал функции ${\displaystyle df(x)}$. Таким образом, если мы принимаем ${\displaystyle dx^{i}}$ в качестве обычных векторов пространства, то градиент должен быть ковектором, чтобы при свёртывании не нужно было использовать метрический тензор. При этом сами векторы ${\displaystyle dx^{i}}$ требуют при свёртывании с такими же векторами использования метрического тензора ${\displaystyle \ (dx)^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}}$.

Если речь идет об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности-контравариантрности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения ${\displaystyle \ dx^{i}}$, являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свёртываются с ${\displaystyle \ dx^{i}}$ посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантные векторы, а те, что с участием метрики — это контравариантные векторы. Если же пространство и координаты настолько абстрактны, что нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает, или становится также чисто условным.

Нередко ковариантным вектором, особенно в физической литературе, называют разложение любого вектора (то есть вектора или ковектора, вектора касательного или кокасательного пространства) по дуальному базису. Тогда речь идет о наборе ковариантных координат любого объекта, обычно, однако, каждый тип объектов стараются записывать в естественном для него базисе, что соответствует основному определению.

В случае криволинейных координат или искривлённых пространств новые координаты являются, вообще говоря, нелинейными функциями старых координат: ${\displaystyle x'^{i}=x'^{i}(x^{1},x^{2},...,x^{n})}$. Для бесконечно малых изменений старых координат ${\displaystyle dx^{j}}$ можно определить изменения новых координат через якобиан указанных функций:

${\displaystyle dx'^{i}={\frac {\partial x'^{i}}{\partial x^{j}}}dx^{j}}$

Любой вектор ${\displaystyle v}$, преобразующийся так же, как и ${\displaystyle dx^{i}}$, то есть

${\displaystyle v'^{i}={\frac {\partial x'^{i}}{\partial x^{j}}}v^{j}}$

называется контравариантным вектором.

Для некоторой скалярной функции координат ${\displaystyle f(x)}$ рассмотрим её градиент ${\displaystyle {\frac {\partial f(x)}{\partial x^{i}}}}$. При переходе к другим координатам имеем:

${\displaystyle {\frac {\partial f(x)}{\partial x'^{i}}}={\frac {\partial f(x)}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial x^{j}}{\partial x'^{i}}}}$

Любой вектор ${\displaystyle u}$, преобразующийся так же, как градиент, то есть

${\displaystyle u'_{i}={\frac {\partial x^{j}}{\partial x'^{i}}}u_{j}}$

называется ковариантным вектором.

Соответственно, ${\displaystyle m}$ раз контравариантным и ${\displaystyle k}$ раз ковариантным тензором (тензором типа ${\displaystyle T_{k}^{m}}$) называется объект, преобразующийся при смене базиса применением ${\displaystyle m}$ раз «обратного» преобразования ${\displaystyle {\frac {\partial x'^{i}}{\partial x^{j}}}}$ и ${\displaystyle k}$ раз «прямого» преобразования ${\displaystyle {\frac {\partial x^{j}}{\partial x'^{i}}}}$.

Например, дважды контравариантный тензор ${\displaystyle A^{ij}}$ и дважды ковариантный тензор ${\displaystyle A_{ij}}$ преобразуются по следующим законам:

${\displaystyle {A'}^{ij}={\frac {\partial x'^{i}}{\partial x^{q}}}{\frac {\partial x'^{j}}{\partial x^{p}}}A^{pq}}$

${\displaystyle {A'}_{ij}={\frac {\partial x^{q}}{\partial x'^{i}}}{\frac {\partial x^{p}}{\partial x'^{j}}}A_{pq}}$

А для 1 раз контравариантного и 1 раз ковариантного тензора преобразования имеют вид:

${\displaystyle {A'}_{i}^{j}={\frac {\partial x^{p}}{\partial x'^{i}}}{\frac {\partial x'^{j}}{\partial x^{q}}}A_{p}^{q}}$

Обычно для указания, что компоненты тензора преобразованы к новому базису со штрихом, штрих указывают у соответствующих индексов тензора, а не у его буквенного обозначения, в таком случае вышеуказанные формулы записывают так

${\displaystyle A^{i'j'}={\frac {\partial x^{i'}}{\partial x^{q}}}{\frac {\partial x^{j'}}{\partial x^{p}}}A^{pq},\qquad A_{i'j'}={\frac {\partial x^{q}}{\partial x^{i'}}}{\frac {\partial x^{p}}{\partial x^{j'}}}A_{pq},\qquad A_{i'}^{j'}={\frac {\partial x^{p}}{\partial x^{i'}}}{\frac {\partial x^{j'}}{\partial x^{q}}}A_{p}^{q}}$