Тензорное поле

Используя основное понятие дифференциальной геометрии — структура на многообразии, — можно дать следующее определение:

Пусть ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle V^{*}=\mathrm {Hom} \,(V,\;\mathbb {R} )}$ и ${\displaystyle V_{q}^{p}=(({\overset {p}{\otimes }}V))\otimes (({\overset {q}{\otimes }}V^{*}))}$ — пространство тензоров типа ${\displaystyle (p,\;q)}$ с естественным тензорным представлением группы ${\displaystyle GL^{1}(n)=GL(n)}$, тогда структура типа ${\displaystyle V_{q}^{p}}$ является линейной структурой первого порядка и называется тензорным полем (или тензорной структурой) типа ${\displaystyle (p,\;q)}$.

При определении тензорного поля можно отталкиваться от понятия тензорного расслоения.

Тензорное поле — это сечение тензорного расслоения ${\displaystyle T^{p,\;q}(M)}$ на дифференцируемом многообразии ${\displaystyle M}$, изоморфного в общем случае тензорному произведению касательных и кокасательных расслоений

${\displaystyle T^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\otimes }}T(M)\otimes {\overset {q}{\otimes }}T(M)^{*}.}$

Менее формально тензорное поле можно рассматривать как отображение, которое каждой точке рассматриваемого многообразия ${\displaystyle M}$ ставит в соответствие тензор постоянной валентности.

Понятие тензорного поля естественным образом возникает в механике и физике сплошных сред при описании анизотропных сред. Понятие тензорного поля находит применение во всех прикладных науках, где такие среды рассматриваются и изучаются. Оно входит в математический аппарат общей и специальной теории относительности.

Проще всего понимать такое расширение исходя из нестрогого определения, согласно которому тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке ${\displaystyle \displaystyle x}$ многообразия ${\displaystyle \displaystyle M}$ некоторый тензор фиксированной валентности ${\displaystyle \displaystyle (p,q)}$, отнесенный к этой точке ${\displaystyle \displaystyle x}$. Пусть теперь ${\displaystyle \displaystyle {\tilde {M}}}$ — некоторое другое многообразие, являющееся линейным расслоением над ${\displaystyle \displaystyle M}$, и пусть ${\displaystyle \displaystyle \pi$ :{\tilde {M}}\to M}  — каноническая проекция для такого расслоения. Тогда расширенное тензорное поле — это отображение, которое ставит в соответствие каждой точке ${\displaystyle \displaystyle y}$ многообразия ${\displaystyle \displaystyle {\tilde {M}}}$ некоторый тензор фиксированной валентности ${\displaystyle \displaystyle (p,q)}$ на ${\displaystyle \displaystyle {\tilde {M}}}$, отнесенный к точке ${\displaystyle \displaystyle x=\pi (y)}$.