Механика сплошных сред

В механике сплошных сред на основе методов, развитых в теоретической механике, рассматриваются движения таких материальных тел, которые заполняют пространство непрерывно, пренебрегая их молекулярным строением. Вместе с тем также считаются непрерывными характеристики тел — такие, как плотность, напряжения, скорости и т. д. Прикладное объяснение этого состоит в том, что линейные размеры, с которыми мы имеем дело в механике сплошных сред, значительно больше межмолекулярных расстояний. Минимально возможный объём тела, который позволяет исследовать его некоторые заданные свойства, называется представительным объёмом или физически малым объёмом. Данное упрощение даёт возможность применения в механике сплошных сред хорошо разработанного для непрерывных функций аппарата высшей математики. Помимо гипотезы непрерывности принимается гипотеза о пространстве и времени — все процессы рассматриваются в пространстве, в котором определены расстояния между точками, и развиваются во времени, причём в классической механике сплошных сред время течёт одинаково для всех наблюдателей, а в релятивистской — пространство и время связываются в единое пространство-время.

Механика сплошных сред является распространением ньютоновой механики материальной точки на случай сплошной материальной среды; системы дифференциальных уравнений, составляемые для решения различных задач механики сплошных сред, отражают классические законы Ньютона, но в форме, специфической для данного раздела механики. В частности, такие фундаментальные физические величины ньютоновой механики, как масса и сила, представлены в уравнениях механики сплошных сред в удельных формах: масса — как плотность, а сила — как напряжение (или — в статике газов и жидкостей — как давление).

В механике сплошных сред разрабатываются методы сведения механических задач к математическим, то есть к задачам об отыскании некоторых чисел или числовых функций с помощью различных математических операций. Кроме того, важной целью механики сплошной среды является установление общих свойств и законов движения деформируемых тел и силовых взаимодействий в этих телах.

Под влиянием механики сплошных сред получил большое развитие ряд разделов математики — например, некоторых разделов теории функции комплексного переменного, краевых задач для уравнений в частных производных, интегральных уравнений и другие.

Академик А. Ю. Ишлинский, характеризуя положение дел в области аксиоматизации механики, отмечал: «Механика Галилея — Ньютона до сих пор в должной мере не аксиоматизирована в отличие от геометрии, аксиоматизация которой была завершена великим математиком Д. Гильбертом… Тем не менее можно и нужно (настало тому время) построить классическую механику, как и геометрию, исходя из некоторого числа независимых постулатов и аксиом, установленных в результате обобщения практики»[2].

Впрочем, ряд попыток аксиоматизации механики (и, в частности, механики сплошных сред) был сделан. Ниже представлены основные положения механики сплошных сред, играющие (в различных аксиоматических построениях) роль либо аксиом, либо важнейших теорем.

1. Евклидовость пространства. Пространство, в котором рассматривается движение тела — трёхмерное евклидово точечное пространство (обозначаемое[3] ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$, а также ${\displaystyle E_{3}}$).
2. Абсолютность времени ${\displaystyle t}$. Течение времени не зависит от выбора системы отсчёта.
3. Гипотеза сплошности. Материальное тело — сплошная среда (континуум в пространстве ${\displaystyle E_{3}}$).
4. Закон сохранения массы. Всякое материальное тело ${\displaystyle V}$ обладает скалярной неотрицательной характеристикой — массой ${\displaystyle M}$, которая: а) не изменяется при любых движениях тела, если тело состоит из одних и тех же материальных точек, б) является аддитивной величиной: ${\displaystyle M(V)=M(V_{1})+M(V_{2})}$, где ${\displaystyle V=V_{1}+V_{2}}$.
5. Закон сохранения импульса (изменения количества движения).
6. Закон сохранения момента импульса (изменения момента количества движения).
7. Закон сохранения энергии (первый закон термодинамики).
8. Существование абсолютной температуры (третье начало термодинамики).
9. Закон баланса энтропии (второй закон термодинамики).

В неклассических моделях механики сплошных сред эти аксиомы могут заменяться другими. Например, вместо первых двух аксиом могут использоваться соответствующие положения теории относительности[4].

• Теория определяющих соотношений
• Математическая модель
• Тело (МСС)
• Метод подвижных клеточных автоматов

• Баранов А. А., Колпащиков В. Л.  Релятивистская термомеханика сплошных сред. — Минск: Наука и техника, 1974. — 152 с.
• Димитриенко Ю. И.  Нелинейная механика сплошной среды. — М.: Физматлит, 2009. — 624 с. — ISBN 978-5-9221-1110-2.
• Ильюшин А. А.  Механика сплошной среды. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. — 287 с.
• Ишлинский А. Ю.  Механика: Идеи, задачи, приложения. — М.: Наука, 1985. — 624 с.
• Коларов Д., Балтов А., Бончева Н.  Механика пластических сред. — М.: Наука, 1979. — 302 с.
• Лойцянский Л. Г.  Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003. — 840 с. — ISBN 5-7107-6327-6.
• Седов Л. И.  Механика сплошной среды. Том 1. — М.: Наука, 1970. — 492 с.
• Седов Л. И.  Механика сплошной среды. Том 2. — М.: Наука, 1970. — 568 с.
• Трусделл К.  Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. — М.: Наука, 1975. — 592 с.
• Чёрный Л. T.  Релятивистские модели сплошных сред. — М.: Наука, 1983. — 288 с.