Гравитационное поле

Закон тяготения Ньютона

Основная статья: Классическая теория тяготения Ньютона

В рамках классической физики гравитационное взаимодействие описывается «законом всемирного тяготения» Ньютона, согласно которому сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками с массами ${\displaystyle m_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}}$ пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}.}$

Здесь ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная, приблизительно равная ${\displaystyle 6{,}673\cdot 10^{-11}}$ м³/(кг с²), ${\displaystyle r}$ — расстояние между точками.

Решение задачи динамики в общем случае, когда тяготеющие массы нельзя считать материальными точками, подразделяется на два этапа: вначале рассчитывается гравитационное поле, создаваемое этими массами, а затем определяется его действие на массивные тела в изучаемой системе.

Основная статья: Гравитационный потенциал

Гравитационное поле является потенциальным. Его потенциал ${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )}$ удовлетворяет уравнению Пуассона:

${\displaystyle \Delta \varphi (\mathbf {r} )=-4\pi G\rho (\mathbf {r} )}$,

где ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа. Решение данного уравнения имеет вид:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )=-G\int _{V^{\prime }}{\frac {\rho (\mathbf {r} ^{\prime })dV^{\prime }}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|}}}$.

Здесь ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — радиус-вектор точки, в которой определяется потенциал, ${\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }}$ — радиус-вектор элемента объёма ${\displaystyle dV^{\prime }}$ c плотностью вещества ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ^{\prime })}$, а интегрирование охватывает все такие элементы. На бесконечности ${\displaystyle \varphi =0}$.

В частном случае поля, создаваемого расположенной в начале координат точечной массой ${\displaystyle M}$, потенциал равен

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )=-G{\frac {M}{r}}}$.

Этим же выражением описывается потенциал тела со сферически-симметрично распределённой массой ${\displaystyle M}$, за его пределами.

В общем случае тела произвольной формы на больших расстояниях от него неплохое приближение для потенциала даёт формула[2]:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )=-G\left({\frac {M}{r}}+{\frac {A+B+C-3I}{2r^{3}}}\right),}$

где за начало координат принят центр масс тела, ${\displaystyle A,B,C}$ — главные моменты инерции тела, ${\displaystyle I}$ — момент инерции относительно оси ${\displaystyle \mathbf {r} }$. Эта формула несколько упрощается для астрономических объектов, представляющих собой сплюснутые сфероиды вращения с концентрически однородным распределением масс. У таких тел ${\displaystyle A=B}$ и ${\displaystyle I=A+(C-A)\sin ^{2}\alpha ,}$ где ${\displaystyle \alpha }$ — угол между ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и плоскостью главных осей ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$. В итоге

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )=-G\left({\frac {M}{r}}+{\frac {C-A}{2r^{3}}}(1-3\sin ^{2}\alpha )\right).}$

Если потенциал поля определён, то сила притяжения, действующая в гравитационном поле на материальную точку с массой ${\displaystyle m}$, находится по формуле:

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-m\nabla \varphi (\mathbf {r} )=-Gm\int _{V^{\prime }}{\frac {\rho (\mathbf {r} ^{\prime })(\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime })dV^{\prime }}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }|^{3}}}}$.

В частном случае поля точечной массы ${\displaystyle M}$, расположенной в начале координат (${\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }=\mathbf {0} }$), действующая сила составит

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-G\,{\frac {mM}{r^{3}}}\,\mathbf {r} }$.

Траектория материальной точки в гравитационном поле, создаваемом много большей по массе материальной точкой, подчиняется законам Кеплера. В частности, планеты и кометы в Солнечной системе движутся по эллипсам или гиперболам. Влияние других планет, искажающее эту картину, можно учесть с помощью теории возмущений.

Если исследуемое тело нельзя рассматривать как материальную точку, то его движение в гравитационном поле включает также вращение вокруг оси, проходящей через центр масс[3]:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {H} }{dt}}=\mathbf {K} .}$

Здесь: ${\displaystyle \mathbf {H} }$ — угловой момент относительно центра масс, ${\displaystyle \mathbf {K} }$ — равнодействующая моментов действующих сил относительно центра масс. Более общий случай, когда масса исследуемого тела сравнима с массой источника поля, известен как задача двух тел, и её формулировка сводится к системе двух независимых движений. Исследование движения более чем двух тел («задача трёх тел») разрешимо только в нескольких специальных случаях.

Практика показала, что классический закон всемирного тяготения позволяет с огромной точностью объяснить и предсказать движения небесных тел. Однако ньютоновская теория содержала ряд серьёзных недостатков. Главный из них — необъяснимое дальнодействие: сила притяжения передавалась неизвестно как через совершенно пустое пространство, причём бесконечно быстро. По существу ньютоновская модель была чисто математической, без какого-либо физического содержания. Кроме того, если Вселенная, как тогда предполагали, евклидова и бесконечна, и при этом средняя плотность вещества в ней ненулевая, то возникает гравитационный парадокс: потенциал поля всюду обращается в бесконечность. В конце XIX века обнаружилась ещё одна проблема: заметное расхождение теоретического и наблюдаемого смещения перигелия Меркурия.

На протяжении более двухсот лет после Ньютона физики предлагали различные пути усовершенствования ньютоновской теории тяготения. Эти усилия увенчались успехом в 1915 году, с созданием общей теории относительности Эйнштейна, в которой все указанные трудности были преодолены. Теория Ньютона оказалась приближением более общей теории, применимым при выполнении двух условий:

1. Гравитационный потенциал в исследуемой системе не слишком велик (много меньше ${\displaystyle c^{2}}$). В Солнечной системе это условие для большинства движений небесных тел можно считать выполненным — даже на поверхности Солнца отношение ${\displaystyle |\varphi |/c^{2}}$ составляет всего ${\displaystyle 2{,}12\cdot 10^{-6}}$. Заметным релятивистским эффектом является только указанное выше смещение перигелия[4].
2. Скорости движения в этой системе незначительны по сравнению со скоростью света.