Уравнение Кеплера

Уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид

${\displaystyle r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos {\vartheta }}}}$

Тогда уравнение для времени приобретает вид

${\displaystyle t-t_{0}={\frac {\left(a\left(1-e^{2}\right)\right)^{3/2}}{\sqrt {\mu }}}\int \limits _{0}^{\vartheta }{\frac {d\vartheta }{(1+e\cos {\vartheta })^{2}}}}$

Для того, чтобы взять интеграл вводят следующую подстановку:

${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\vartheta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \operatorname {tg} {\frac {E}{2}}}$

Величина E называется эксцентрической аномалией. Благодаря такой подстановке интеграл легко берется. Получается следующее уравнение:

${\displaystyle t-t_{0}={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}\left(E-e\sin E\right)}$

Величина ${\displaystyle {\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}}$ является средней угловой скоростью движения тела по орбите. В небесной механике для этой величины используется термин среднее движение. Произведение среднего движения на время называется средней аномалией M. Эта величина представляет собой угол, на которой повернулся бы радиус-вектор тела, если бы оно двигалось по круговой орбите с радиусом, равным большой полуоси орбиты тела.

Таким образом получаем уравнение Кеплера для эллиптического движения:

${\displaystyle E-e\sin E=M}$

Уравнение гиперболы в полярных координатах имеет тот же вид, что и уравнение эллипса. Значит, интеграл получается такой же по виду. Однако, использовать эксцентрическую аномалию в данном случае нельзя. Воспользуемся параметрическим представлением гиперболы: ${\displaystyle x=-a\,\mathrm {ch} \,H}$, ${\displaystyle y=a{\sqrt {e^{2}-1}}\,\mathrm {sh} \,H}$. Тогда уравнение для гиперболы принимает вид

${\displaystyle r=a\left(e\,\mathrm {ch} \,H-1\right)}$,

а связь между ${\displaystyle \vartheta }$ и ${\displaystyle H}$

${\displaystyle \mathrm {tg} \,{\frac {\vartheta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\,\mathrm {th} \,{\frac {H}{2}}}$.

Благодаря такой подстановке интеграл приобретает ту же форму, что и в случае с эллиптической орбитой. После произведения преобразований получаем гиперболическое уравнение Кеплера:

${\displaystyle M=e\,\mathrm {sh} \,H-H}$

Величина ${\displaystyle H}$ называется гиперболической эксцентрической аномалией. Поскольку ${\displaystyle \mathrm {sh} \,H=-i\sin {iH}}$, то последнее уравнение можно преобразовать следующим образом:

${\displaystyle M=-ei\sin {iH}-H=i\left(iH-e\sin {iH}\right)=i\left(E-e\sin E\right)}$.

Отсюда видно, что ${\displaystyle E=iH}$.

Уравнение параболы в полярных координатах имеет вид

${\displaystyle r={\frac {2\,r_{\pi }}{1+\cos \vartheta }}}$

где ${\displaystyle r_{\pi }}$ — расстояние до перицентра. Второй закон Кеплера для случая движения по параболической траектории

${\displaystyle r^{2}\,{\frac {d\vartheta }{dt}}={\rm {const}}={\sqrt {2\,\mu \,r_{\pi }}}}$

Откуда получаем интеграл, определяющий время движения

${\displaystyle t-t_{0}=2\,r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0}^{\vartheta }{\frac {d\vartheta }{(1+\cos \vartheta )^{2}}}}$

Вводим универсальную тригонометрическую замену

${\displaystyle z={\rm {tg}}\,{\frac {\vartheta }{2}},\quad \vartheta =2\,{\rm {arctg}}\,z,\quad d\vartheta ={\frac {2\,dz}{1+z^{2}}},\quad \cos \vartheta ={\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}}$

и преобразуем интеграл

${\displaystyle t-t_{0}=4\,r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}{\frac {\cfrac {dz}{1+z^{2}}}{\left(1+{\cfrac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}\right)^{2}}}=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\int \limits _{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}(1+z^{2})\,dz=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left.\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}\right)\right|_{0}^{{\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}}}$

получаем окончательно

${\displaystyle t-t_{0}=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left({\rm {tg\,}}{\frac {\vartheta }{2}}+{\frac {1}{3}}{\rm {tg^{3}\,}}{\frac {\vartheta }{2}}\right)}$

Последнее соотношение известно в небесной механике как уравнение Баркера.

Радиальной называется орбита, представляющая собой прямую линию, проходящую через притягивающий центр. В этом случае вектор скорости направлен вдоль траектории и трансверсальная составляющая отсутствует[1], значит

${\displaystyle v={\frac {dr}{dt}}}$

Связь между положением тела на орбите и временем найдем из энергетических соображений

${\displaystyle {\frac {m\,v^{2}}{2}}-{\frac {m\,\mu }{r}}={\rm {const}}}$

${\displaystyle v^{2}={\frac {2\mu }{r}}+h}$

— интеграл энергии. Отсюда имеем дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=\pm {\sqrt {{\frac {2\mu }{r}}+h}}}$

Разделяя переменные в этом уравнении, приходим к интегралу

${\displaystyle \mp \left(t_{1}-t_{0}\right)=\int \limits _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {{\cfrac {2\mu }{r}}+h}}}}$

способ вычисления которого определяется знаком константы ${\displaystyle h}$. Выделяют три случая

• ${\displaystyle h<0}$ прямолинейно-эллиптическая орбита

Соответствует случаю, когда полная механическая энергия тела отрицательна, и удалившись на некоторое максимальное расстояние от притягивающего центра, оно начнет двигаться в обратную сторону. Это аналогично движению по эллиптической орбите. Для вычисления интеграла введем замену

${\displaystyle {\frac {2\,\mu }{r}}={\frac {-h}{\sin ^{2}u}},\quad u_{0}={\rm {arcsin}}{\sqrt {\frac {-h\,r_{0}}{2\,\mu }}},\quad u_{1}={\rm {arcsin}}{\sqrt {\frac {-h\,r_{1}}{2\,\mu }}},\quad dr={\frac {4\,\mu }{-h}}\sin u\cos u\,du}$

вычисляем интеграл

${\displaystyle \mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {4\,\mu }{-h{\sqrt {-h}}}}\int \limits _{u_{0}}^{u_{1}}\sin ^{2}u\,du={\frac {2\,\mu }{-h{\sqrt {-h}}}}\int \limits _{u_{0}}^{u_{1}}\left(1-\cos {2u}\right)\,du={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h}}}}\left.\left(2\,u-\sin 2u\right)\right|_{u_{0}}^{u_{1}}}$

Полагая ${\displaystyle E=2\,u}$, запишем результат

${\displaystyle \mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h}}}}\left(E_{1}-E_{0}-\sin E_{1}+\sin E_{0}\right)}$

приняв в качестве (недостижимого в реальности) условного перицентра ${\displaystyle r_{0}=0}$, и направление начальной скорости от притягивающего центра, получим так называемое радиальное уравнение Кеплера, связывающее расстояние от притягивающего центра со временем движения

${\displaystyle t_{1}-t_{0}={\frac {\mu }{-h{\sqrt {-h}}}}\left(E-\sin E\right)}$

где ${\displaystyle E=2\arcsin {\sqrt {\frac {-h\,r}{2\,\mu }}}}$.

• ${\displaystyle h=0}$ прямолинейно-параболическая орбита

Запущенное радиально тело удалится на бесконечность от притягивающего центра, имея на бесконечности скорость равную нулю. Соответствует случаю движения с параболической скоростью. Самый простой случай, ибо не требует замены в интеграле

${\displaystyle \mp \left(t_{1}-t_{0}\right)=\int \limits _{r_{0}}^{r_{1}}{\frac {dr}{\sqrt {\cfrac {2\mu }{r}}}}={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\mu }}}\left(r_{1}{\sqrt {r_{1}}}-r_{0}{\sqrt {r_{0}}}\right)}$

Принимая начальные условия первого случая, получаем явный закон движения

${\displaystyle r(t)=\left[3{\sqrt {\frac {\mu }{2}}}\left(t_{1}-t_{0}\right)\right]^{\frac {2}{3}}}$

• ${\displaystyle h>0}$ прямолинейно-гиперболическая орбита

Соответствует уходу от притягивающего центра на бесконечность. На бесконечности тело будет иметь скорость, ${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {h}}}$. Вводим замену

${\displaystyle {\frac {2\,\mu }{r}}={\frac {h}{{\rm {sh}}^{2}u}},\quad u_{0}={\rm {arcsh}}{\sqrt {\frac {h\,r_{0}}{2\,\mu }}},\quad u_{1}={\rm {arcsh}}{\sqrt {\frac {h\,r_{1}}{2\,\mu }}},\quad dr={\frac {4\,\mu }{h}}\,{\rm {sh}}u\,{\rm {ch}}u\,du}$

и вычисляем интеграл

${\displaystyle \mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {4\,\mu }{h{\sqrt {h}}}}\int \limits _{u_{0}}^{u_{1}}{\rm {sh}}^{2}u\,du={\frac {2\,\mu }{h{\sqrt {h}}}}\int \limits _{u_{0}}^{u_{1}}\left({\rm {ch}}{2u}-1\right)\,du={\frac {\mu }{h{\sqrt {h}}}}\left.\left({\rm {sh}}2u-2\,u\right)\right|_{u_{0}}^{u_{1}}}$

Полагая ${\displaystyle H=2\,u}$, получаем

${\displaystyle \mp \left(t_{1}-t_{0}\right)={\frac {\mu }{h{\sqrt {h}}}}\left({\rm {sh}}\,H_{1}-{\rm {sh}}\,H_{0}-H_{1}+H_{0}\right)}$

Полагая начальные условия аналогичными первому случаю, имеем гиперболическое радиальное уравнение Кеплера

${\displaystyle t_{1}-t_{0}={\frac {\mu }{h{\sqrt {h}}}}\left({\rm {sh}}H-H\right)}$

где ${\displaystyle H=2\,{\rm {arcsh}}{\sqrt {\frac {h\,r}{2\,\mu }}}}$

Среди численных методов решения уравнения Кеплера часто используются метод неподвижной точки («метод простой итерации») и метод Ньютона[3]. Для эллиптического случая в методе неподвижной точки за начальное значение E₀ можно взять M, а последовательные приближения имеют следующий вид[2]:

${\displaystyle E_{n+1}=e\,\sin E_{n}+M}$

В гиперболическом случае метод неподвижной точки подобным образом использовать нельзя, однако этот метод даёт возможность вывести для такого случая другую формулу приближений (с гиперболическим арксинусом)[2]:

${\displaystyle H_{n+1}=\operatorname {Arsh} {\frac {H_{n}+M}{e}}}$