Формула Циолковского

Формула Циолковского (внизу) в близком к записанному Циолковским виде на белорусском почтовом блоке 2002 года

Эта формула была выведена К. Э. Циолковским в рукописи «Ракета» 10 (22) мая 1897[1] и опубликована в 1903 году в майском выпуске журнала «Научное обозрение» в следующем виде[2]^:53[3][4]:

${\displaystyle {V \over V_{1}}=\ln \left(1+{M_{2} \over M_{1}}\right),}$

где ${\displaystyle V}$ — конечная скорость ракеты;

${\displaystyle V_{1}}$ — скорость вырывающихся элементов относительно ракеты;

${\displaystyle M_{1}}$ — масса ракеты без взрывчатых веществ (то есть без топлива);

${\displaystyle M_{2}}$ — масса взрывчатых веществ.

Однако первыми уравнение движения тела с переменной массой решили английские исследователи У. Мур в 1810—1811 годах[5], опубликовавший решение в своей книге в 1813 году[6], а также П. Г. Тэйт в 1861 г. и У. Дж. Стил из Кембриджского университета в 1856 году.

Формула Циолковского может быть получена путём интегрирования дифференциального уравнения Мещерского для материальной точки переменной массы:

${\displaystyle m\cdot {\frac {d{\vec {V}}}{dt}}+{\vec {u}}\cdot {\frac {dm}{dt}}=0,}$

где ${\displaystyle m}$ — масса точки;

${\displaystyle V}$ — скорость точки;

${\displaystyle u}$ — относительная скорость, с которой движется отделяющаяся от точки часть её массы.

Для ракетного двигателя эта величина и составляет его удельный импульс ${\displaystyle I}$[7].

Для многоступенчатой ракеты конечная скорость рассчитывается как сумма скоростей, полученных по формуле Циолковского отдельно для каждой ступени, причем при расчёте характеристической скорости каждой ступени к её начальной и конечной массе добавляется суммарная начальная масса всех последующих ступеней.

Введем обозначения:

• ${\displaystyle M_{1i}}$ — масса заправленной ${\displaystyle i}$-й ступени ракеты;
• ${\displaystyle M_{2i}}$ — масса ${\displaystyle i}$-й ступени без топлива;
• ${\displaystyle I_{i}}$ — удельный импульс двигателя ${\displaystyle i}$-й ступени;
• ${\displaystyle M_{0}}$ — масса полезной нагрузки;
• ${\displaystyle N}$ — число ступеней ракеты.

Тогда формула Циолковского для многоступенчатой ракеты может быть записана в следующем виде:

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{N}I_{i}\cdot \ln \left({\frac {M_{0}+{\sum _{j=i}^{N}}M_{1j}}{M_{0}+M_{2i}-M_{1i}+{\sum _{j=i}^{N}}M_{1j}}}\right).}$

Поскольку в условиях реального полёта на ракету кроме тяги двигателей действуют и другие силы, скорость, развиваемая ракетами в этих условиях, как правило, ниже характеристической из-за потерь, вызываемых силами гравитации, сопротивления среды и другими факторами.

В следующей таблице приведён баланс скоростей ракеты Сатурн V при выводе корабля Аполлон на траекторию полёта к Луне[8].

Как видно из таблицы, гравитационная составляющая является наибольшей в общей величине потерь. Гравитационные потери возникают из-за того, что ракета, стартуя вертикально, не только разгоняется, но и набирает высоту, преодолевая тяготение Земли, и на это также расходуется топливо. Величина этих потерь вычисляется по формуле:[10]

${\displaystyle \Delta v_{g}\ =\int \limits _{0}^{t}g(t)\cdot \cos(\gamma (t))\,dt,}$

где ${\displaystyle g(t),}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$ — местное ускорение гравитации и угол между вектором силы тяги двигателя и местным вектором гравитации, соответственно, являющиеся функциями времени по программе полёта.

Как видно из таблицы, наибольшая часть этих потерь приходится на участок полёта первой ступени. Это объясняется тем, что на этом участке траектория отклоняется от вертикали в меньшей степени, чем на участках последующих ступеней, и значение ${\displaystyle \cos(\gamma (t))}$ близко к максимальному значению — 1.

Аэродинамические потери вызваны сопротивлением воздушной среды при движении ракеты в ней и рассчитываются по формуле:

${\displaystyle \Delta v_{a}\ =\int \limits _{0}^{t}{\frac {A(t)}{m(t)}}\,dt,}$

где ${\displaystyle A(t)}$ — сила лобового аэродинамического сопротивления;

${\displaystyle m(t)}$ — текущая масса ракеты.

Основные потери от сопротивления воздуха также приходятся на участок работы 1-й ступени ракеты, так как этот участок проходит в нижних, наиболее плотных слоях атмосферы.

Космический аппарат должен быть выведен на орбиту со строго определёнными параметрами, для этого система управления на активном участке полёта разворачивает ракету по определённой программе, при этом направление тяги двигателя отклоняется от текущего направления движения ракеты, а это влечёт за собой потери скорости на управление, которые рассчитываются по формуле:

${\displaystyle \Delta v_{u}\ =\int \limits _{0}^{t}{\frac {F(t)}{m(t)}}\cdot (1-\cos(\alpha (t)))\,dt,}$

где ${\displaystyle F(t)}$ — текущая сила тяги двигателя;

${\displaystyle m(t)}$ — текущая масса ракеты, а ${\displaystyle \alpha (t)}$ — угол между векторами тяги и скорости ракеты.

Наибольшая часть потерь на управление ракеты приходится на участок полёта 2-й ступени, поскольку именно на этом участке происходит переход от вертикального полёта в горизонтальный, и вектор тяги двигателя в наибольшей степени отклоняется по направлению от вектора скорости ракеты.

Выведенная в конце XIX века, формула Циолковского и сегодня составляет важную часть математического аппарата, используемого при проектировании ракет, в частности, при определении их основных массовых характеристик.

Путём несложных преобразований формулы получаем следующее уравнение:

${\displaystyle {\frac {M_{1}}{M_{2}}}=e^{V/I},}$ (1)

Это уравнение дает отношение начальной массы ракеты к её конечной массе при заданных значениях конечной скорости ракеты и удельного импульса.

Введём следующие обозначения:

• ${\displaystyle M_{0}}$ — масса полезного груза;
• ${\displaystyle M_{k}}$ — масса конструкции ракеты;
• ${\displaystyle M_{t}}$ — масса топлива.

Масса конструкции ракеты в большом диапазоне значений зависит от массы топлива почти линейно: чем больше запас топлива, тем больше размеры и масса ёмкостей для его хранения, больше масса несущих элементов конструкции, мощнее (следовательно, массивнее) двигательная установка. Выразим эту зависимость в виде:

${\displaystyle M_{k}={\frac {M_{t}}{k}},}$

где ${\displaystyle k}$ — коэффициент, показывающий, какое количество топлива приходится на единицу массы конструкции.

При рациональном конструировании этот коэффициент, в первую очередь, зависит от характеристик (плотности и прочности) конструкционных материалов, используемых в производстве ракеты. Чем прочнее и легче используемые материалы, тем выше значение коэффициента ${\displaystyle k}$. Этот коэффициент зависит также от усреднённой плотности топлива (для менее плотного топлива требуются ёмкости бо́льшего размера и массы, что ведёт к снижению значения ${\displaystyle k}$).

Предыдущее уравнение может быть записано в виде:

${\displaystyle {\frac {M_{0}+M_{t}+M_{t}/k}{M_{0}+M_{t}/k}}=e^{V/I},}$

что путём элементарных преобразований приводится к виду:

${\displaystyle M_{t}={\frac {M_{0}\cdot k\cdot (e^{V/I}-1)}{k+1-e^{V/I}}}.}$

Эта форма уравнения Циолковского позволяет рассчитать массу топлива, необходимого для достижения одноступенчатой ракетой заданной характеристической скорости, при заданных массе полезного груза, значении удельного импульса и значении коэффициента ${\displaystyle k}$.

Формула имеет смысл, только когда значение, получающееся при подстановке исходных данных, положительно. Поскольку экспонента для положительного аргумента всегда больше 1, числитель формулы всегда положителен, следовательно, положительным должен быть и знаменатель этой формулы:

${\displaystyle k+1-e^{V/I}>0}$, иначе говоря, ${\displaystyle k>e^{V/I}-1.}$

Это неравенство является критерием достижимости одноступенчатой ракетой заданной скорости ${\displaystyle V}$ при заданных значениях удельного импульса ${\displaystyle I}$ и коэффициента ${\displaystyle k}$. Если неравенство не выполняется, заданная скорость не может быть достигнута ни при каких затратах топлива: с увеличением количества топлива будет возрастать и масса конструкции ракеты и отношение начальной массы ракеты к конечной никогда не достигнет значения, требуемого формулой Циолковского для достижения заданной скорости.

Для ракеты, летящей со скоростью, близкой к скорости света, справедлива обобщённая формула Циолковского:

${\displaystyle {\frac {M_{2}}{M_{1}}}=\left({\frac {1-{\frac {V}{c}}}{1+{\frac {V}{c}}}}\right)^{\frac {c}{2I}},}$

где ${\displaystyle c}$ — скорость света[11].

Для фотонной ракеты ${\displaystyle I=c}$ и формула имеет вид:

${\displaystyle {\frac {M_{1}}{M_{2}}}={\sqrt {\frac {1+{\frac {V}{c}}}{1-{\frac {V}{c}}}}}.}$

Скорость фотонной ракеты вычисляется по формуле:

${\displaystyle {\frac {V}{c}}={\frac {1-\left({\frac {M_{2}}{M_{1}}}\right)^{2}}{1+\left({\frac {M_{2}}{M_{1}}}\right)^{2}}}.}$

Формула Циолковского изображена на почтовой марке Польши 1963 года (Sc #1178), почтовой марке Никарагуа 1971 года из серии «10 математических формул, которые изменили лик Земли» (Sc #880) и на полях почтового блока Белоруссии 2002 года, посвящённого 45-летию освоения космоса (Sc #454).

• Уравнение Мещерского
• Ракетодинамика

• Левантовский В. И. Механика космического полета в элементарном изложении. — М.: Наука, 1980. — 512 с.