Задача трёх тел

Задача трёх тел в астрономии — одна из задач небесной механики, состоящая в определении относительного движения трёх тел (материальных точек), взаимодействующих по закону тяготения Ньютона (например, Солнца, Земли и Луны). В отличие от задачи двух тел, в общем случае задача не имеет решения в виде конечных аналитических выражений. Известны лишь отдельные точные решения для специальных начальных скоростей и координат объектов.

Приблизительные траектории трёх одинаковых тел, находившихся в вершинах неравнобедренного треугольника и обладавших нулевыми начальными скоростями. Видно, что центр масс в соответствии с законом сохранения импульса остается на месте.

Математическая формулировка

Общая задача трёх тел в небесной механике описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

$\left.{\begin{array}{c}{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{1}=\gamma m_{2}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{1}}{|{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{1}|^{3}}}+\gamma m_{3}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{1}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{1}|^{3}}}\\{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{2}=\gamma m_{1}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{2}|^{3}}}+\gamma m_{3}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}}{|{\boldsymbol {q}}_{3}-{\boldsymbol {q}}_{2}|^{3}}}\\{\ddot {\boldsymbol {q}}}_{3}=\gamma m_{1}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{3}}{|{\boldsymbol {q}}_{1}-{\boldsymbol {q}}_{3}|^{3}}}+\gamma m_{2}{\dfrac {{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{3}}{|{\boldsymbol {q}}_{2}-{\boldsymbol {q}}_{3}|^{3}}}\end{array}}\quad \right\}$

где $\gamma$ — гравитационная постоянная, $m_{i}$ — массы тел, ${\boldsymbol {q}}_{i}$ — радиус-векторы, определяющие их положение, а точка означает производную по времени.

Частные решения

На данный момент известно более тысячи частных решений:

Первые три решения были найдены Эйлером в 1767 году. Они существуют, когда все три тела находятся на одной прямой. В этом случае имеют место 3 возможных последовательности расположения (третье тело находится между двумя другими, либо слева или справа от обоих). Такое движение называется коллинеарным.
Ещё два решения нашёл в 1772 году Лагранж. В них треугольник, образованный телами, остаётся равносторонним и вращается в пространстве.
В 1892—1899 годах Анри Пуанкаре доказал, что существует бесконечно много частных решений задачи трёх тел.
В 1911 году У. Д. Макмиллан открыл новое частное решение, но без четкого математического обоснования. Лишь в 1961 году советский математик К. А. Ситников смог найти строгое математическое доказательство для этого случая (см. Проблема Ситникова).
В середине 1970-х годов Р. Бруке (англ. Roger A. Broucke ), М. Хено (фр. Michel Hénon) и Дж. Хаджидеметриу (англ. John D. Hadjidemetriou) независимо обнаружили семейство траекторий Бруке-Хено-Хаджидеметриу[1].
В 1993 ещё одно решение, имеющее вид стабильных орбит-«восьмерок», нашёл Мур[2][3].

Полости Роша для двойной системы (обозначены жёлтым)

В 2013 году сербские учёные Милован Шуваков и Велько Дмитрашинович из Института физики в Белграде нашли 11 новых периодических частных решений для задачи трёх тел, одинаковых по массе[1][4].
В 2015 году сербская женщина-математик рассчитала 14 орбит[1].
К 2017 году группа китайских математиков создала собственный алгоритм для поиска периодических траекторий, названный ими «чистое численное моделирование» (Clean Numerical Simulation). С его помощью учёные рассчитали новые траектории, в результате число известных семейств периодических траекторий для задачи трёх тел стало равным 695. Продолжая работу, эта группа учёных рассчитала ещё 1223 частных решений задачи.
В 2018 году математик Ляо Шицзюнь и его коллеги из Шанхайского университета транспорта с помощью суперкомпьютера нашли 234 новых частных решения для задачи трёх тел без коллизий[5].

Общий случай

Относительно общего случая Вейерштрасс предложил такую задачу (1885 г., конкурс на премию шведского короля Оскара II):

Пусть дана система произвольного числа материальных точек, взаимодействующих по закону Ньютона. Требуется, в предположении, что не произойдет соударения каких-либо двух точек, представить координаты каждой точки в виде рядов по каким-либо непрерывным функциям времени, равномерно сходящихся для всех действительных значений этой переменной.

— Погребысский И. Б. Комментарий к Задаче трёх тел Пуанкаре // Пуанкаре А. Избранные труды. — Т. 2. — М.: Наука, 1979. — С. 967—976.

Приближённое решение

По всей видимости, сам Вейерштрасс, опираясь на свою знаменитую теорему об аппроксимации произвольной функции полиномами, желал получить выражение для координат тел в виде

\lim \limits _{n\rightarrow \infty }P_{n}(t)

,

где $P_{n}$ — некоторые полиномы.

Существование таких полиномов сразу следует из непрерывности решения, но найти конструктивный способ отыскания полиномов до сих пор не удалось.

Обсуждение самой возможности ситуации, описанной в задаче Вейерштрасса, привело к ряду важных выводов:

Если решение задачи трёх тел является голоморфной функцией $t$ в интервале $[0,t_{0})$ и перестает быть таковым при $t=t_{0}$ , то при $t\rightarrow t_{0}-0$ или все расстояния между телами стремятся к нулю (тройное соударение тел), или одно из них стремится к нулю, а остальные два — к конечным пределам (простое соударение тел). (Пенлеве, 1897);
Тройное соударение в задаче трёх тел возможно лишь при условии обращения в нуль момента импульса системы и, следовательно, может иметь место лишь при весьма специальных начальных данных. (Ф. А. Слудский, 1874);
Если момент импульса системы не равен нулю, то существует так называемый регуляризирующий параметр $s$ , через который можно выразить координаты и время голоморфным образом в окрестности вещественной оси $s$ . (Зундман, 1912; короткое доказательство дал в 1967 г. Бурде (Burdet)[6]).

Это подтолкнуло Пуанкаре и Зундмана искать решение не в виде функций от $t$ , а в виде рядов от некоторого параметра. Именно, координаты трёх тел и время являются голоморфными функциями $s$ вдоль всей вещественной оси плоскости $s$ , то есть существует некоторая область, в которой координаты голоморфны. По теореме Римана эту область можно отобразить на круг единичного радиуса $|v|<1$ , поэтому координаты трёх тел и время можно представить в виде функций параметра $v$ , голоморфных в круге единичного радиуса. Такие функции представимы в виде сходящегося во всем круге рядов по положительным степеням $v$ . Эти ряды были найдены Зундманом в 1912, точнее говоря, был найден алгоритм отыскания их коэффициентов. К несчастью, как показал Д. Белорицкий[7], по крайней мере в случае Лагранжа для нужд вычислительной астрономии в сходящихся рядах Зундмана нужно брать как минимум $10^{8\cdot 10^{6}}$ членов.

Точное решение

Система трёх тел является простейшей системой с динамическим хаосом[1].

Брунс и Пуанкаре доказали, что систему дифференциальных уравнений для движения трёх тел невозможно свести к интегрируемой[1]. Сделанное ими открытие означает, что динамические системы не изоморфны.

Простые интегрируемые системы допускают разложение на невзаимодействующие подсистемы, но в общем случае исключить взаимодействия невозможно.

См. также

Задача двух тел
Гравитационная задача N тел
Майкл Минович
уравнения Фаддеева (задача трёх частиц в квантовой механике.)

Примечания

Трунин, Д. В задаче трех тел обнаружили более шестисот периодических траекторий : [арх. 7 ноября 2018] // N+1. — 2017. — 12 октября.
Стюарт, 2016, с. 217.
Сербские физики значительно расширили число известных решений «задачи трёх тел»
Физики нашли новые решения ньютоновской задачи трёх тел (неопр.). Lenta.ru (11 марта 2013). Дата обращения: 17 марта 2013. Архивировано 21 марта 2013 года.
Li, Xiaoming and Liao, Shijun. Collisionless periodic orbits in the free-fall three-body problem. — 2018-05-21.
Маршал К. Задача трёх тел. М.-Ижевск, 2004
Belorizky, D. Sur la solution du problème des trois corps, donnée par M. Sundman // C. R. 193, 766—768, 1931.

Литература

Алексеев В. М. Лекции по небесной механике. — Ижевск: РХД, 2001. — 156 с.
Зигель К. Л. Лекции по небесной механике. — М.: ИЛ, 1959. — 300 с.
Маршал К. Задача трёх тел. — Ижевск: РХД, 2004. — 640 с.
Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.

Ссылки

Chenciner, Alain (2007). “Three body problem”. Scholarpedia. 2 (10): 2111. Bibcode:2007SchpJ...2.2111C. DOI:10.4249/scholarpedia.2111.
Scientists Are Close to Finally Solving the Three-Body Problem (неопр.). Popular Mechanics (13 мая 2021).

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[Трунин,_2017-1] Трунин, Д. В задаче трех тел обнаружили более шестисот периодических траекторий : [арх. 7 ноября 2018] // N+1. — 2017. — 12 октября.

[_5594d85de42abd47-2] Стюарт, 2016, с. 217.

[3] Сербские физики значительно расширили число известных решений «задачи трёх тел»

[4] Физики нашли новые решения ньютоновской задачи трёх тел (неопр.). Lenta.ru (11 марта 2013). Дата обращения: 17 марта 2013. Архивировано 21 марта 2013 года.

[5] Li, Xiaoming and Liao, Shijun. Collisionless periodic orbits in the free-fall three-body problem. — 2018-05-21.

[6] Маршал К. Задача трёх тел. М.-Ижевск, 2004

[7] Belorizky, D. Sur la solution du problème des trois corps, donnée par M. Sundman // C. R. 193, 766—768, 1931.