Прямая

Участки прямой, ограниченные двумя её точками, называются отрезками.

• Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
• Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
• Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке[5], или являются параллельными (следует из предыдущего).
• В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух несовпадающих прямых:
  • прямые пересекаются;
  • прямые параллельны;
  • прямые скрещиваются.
• Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+t{\vec {a}},\quad t\in (-\infty ,\;+\infty ),}$

где ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ — радиус-вектор некоторой фиксированной точки ${\displaystyle M_{0},}$ лежащей на прямой, ${\displaystyle {\vec {a}}}$ — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой (называемый её направляющим вектором), ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радиус-вектор произвольной точки прямой.

Параметрические уравнения прямой в пространстве:

${\displaystyle x=x_{0}+t\alpha ,\;y=y_{0}+t\beta ,\;z=z_{0}+t\gamma ,\quad t\in (-\infty ,\;+\infty ),}$

где ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0},\;z_{0})}$ — координаты некоторой фиксированной точки ${\displaystyle M_{0},}$ лежащей на прямой; ${\displaystyle (\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )}$ — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

${\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{\alpha }}={\frac {y-y_{0}}{\beta }}={\frac {z-z_{0}}{\gamma }},}$

где ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0},\;z_{0})}$ — координаты некоторой фиксированной точки ${\displaystyle M_{0},}$ лежащей на прямой; ${\displaystyle (\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )}$ — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Общее векторное уравнение прямой^{[уточнить]} в пространстве:

Поскольку прямая является пересечением двух различных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:

${\displaystyle ({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{1})+D_{1}=0}$ и ${\displaystyle ({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{2})+D_{2}=0,}$

то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:

${\displaystyle {\begin{cases}({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{1})+D_{1}=0,\\({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{2})+D_{2}=0.\end{cases}}}$

Векторное уравнение прямой в пространстве[6]^:196-199:

Уравнение прямой в пространстве можно записать в виде векторного произведения радиуса-вектора произвольной точки этой прямой ${\displaystyle {\vec {r}}}$ на фиксированный направляющий вектор прямой ${\displaystyle {\vec {a}}}$:

${\displaystyle [{\vec {r}},{\vec {a}}]={\vec {M}},}$

где фиксированный вектор ${\displaystyle {\vec {M}}}$, ортогональный вектору ${\displaystyle {\vec {a}}}$, можно найти, подставляя в это уравнение радиус-вектор какой-нибудь одной известной точки прямой.

Три точки ${\displaystyle (x_{1},\;y_{1})}$, ${\displaystyle (x_{2},\;y_{2})}$ и ${\displaystyle (x_{3},\;y_{3})}$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0.}$

Отклонение точки ${\displaystyle (x_{1},\;y_{1})}$ от прямой ${\displaystyle Ax+By+C=0}$ может быть найдено по формуле

${\displaystyle \delta ={\frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},}$

где знак перед радикалом противоположен знаку ${\displaystyle C.}$ Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.

В пространстве расстояние от точки ${\displaystyle (x_{1},\;y_{1},\;z_{1})}$ до прямой, заданной параметрическим уравнением

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+t\alpha ,\\y=y_{0}+t\beta ,\quad t\in \mathbb {R} \\z=z_{0}+t\gamma ,\end{cases}}}$

можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент ${\displaystyle t}$ этой точки может быть найден по формуле

${\displaystyle t_{\min }={\frac {\alpha (x_{1}-x_{0})+\beta (y_{1}-y_{0})+\gamma (z_{1}-z_{0})}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}.}$

Две прямые, заданные уравнениями

${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0}$

или

${\displaystyle y=k_{1}x+b_{1},\quad y=k_{2}x+b_{2}}$

пересекаются в точке

${\displaystyle x={\frac {B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {b_{1}-b_{2}}{k_{2}-k_{1}}},\quad y={\frac {C_{1}A_{2}-C_{2}A_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {k_{2}b_{1}-k_{1}b_{2}}{k_{2}-k_{1}}}.}$

Угол ${\displaystyle \gamma _{12}}$ между пересекающимися прямыми определяется формулой

${\displaystyle \mathrm {tg} \,\gamma _{12}={\frac {A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}}={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}.}$

При этом под ${\displaystyle \gamma _{12}}$ понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle B_{1}}$, ${\displaystyle C_{1}}$, ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle b_{1}}$) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.

Эти прямые параллельны, если ${\displaystyle A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0}$ или ${\displaystyle k_{1}=k_{2}}$, и перпендикулярны, если ${\displaystyle A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0}$ или ${\displaystyle k_{1}=-{\frac {1}{k_{2}}}}$.

Любую прямую, параллельную прямой с уравнением ${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,}$ можно выразить уравнением ${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C=0.}$ При этом расстояние между этими прямыми будет равно

${\displaystyle \delta ={\frac {C_{1}-C}{\pm {\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}};}$

Если же уравнение прямой задано как ${\displaystyle y_{1}=kx_{1}+b_{1}}$, а уравнение прямой параллельной ей ${\displaystyle y=kx+b}$, то расстояние можно вычислить, как

${\displaystyle \delta ={\frac {|b_{1}-b|}{\sqrt {1+k^{2}}}}.}$

Если знак перед радикалом противоположен ${\displaystyle C_{1},}$ то ${\displaystyle \delta }$ будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.

Для того, чтобы три прямые

${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,\quad A_{3}x+B_{3}y+C_{3}=0}$

пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

${\displaystyle {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{3}&B_{3}&C_{3}\end{vmatrix}}=0.}$

Если ${\displaystyle A_{2}=-B_{1}}$ и ${\displaystyle B_{2}=A_{1}}$, то прямые ${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0}$ и ${\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0}$ перпендикулярны.

• Прямая Александрова
• Прямая Симсона
• Прямая Суслина
• Прямая Эйлера
• Числовая прямая

• Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике. — Выпуск 4. — Гостехиздат, 1952 г. — 32 стр.
• Прямая // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
• Coxeter, H.S.M (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4
• Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
• Pedoe, Dan (1988), Geometry: A Comprehensive Course, Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-65812-0
• Wylie, Jr., C.R. (1964), Foundations of Geometry, New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-072191-2

• Прямая на плоскости, справочник математических формул «Прикладная математика»
• Прямая в пространстве, справочник математических формул «Прикладная математика»