Спираль Галилея

Спираль Галилея — плоская трансцендентная кривая, уравнение которой в полярных координатах имеет вид:

${\displaystyle \rho =\alpha \varphi ^{2}-d,}$ где ${\displaystyle d\geqslant 0.}$

Спираль Галилея можно представить как траекторию точки, равноускоренно движущейся по прямой, причём эта прямая равномерно вращается вокруг некоторой своей точки. Таким образом, уравнение можно переписать в обычных физических обозначениях:

${\displaystyle {\begin{cases}\rho ={\frac {1}{2}}at^{2}+v_{0}t+\rho _{0}\\\theta =\omega t\end{cases}}}$

После поворота системы координат это уравнение можно привести к стандартному виду ${\displaystyle \rho =\alpha \varphi ^{2}-d.}$

Кривая симметрична относительно полярной оси, в полюсе — двойная точка, касательные к которой образуют углы с полярной осью ${\displaystyle \pm {\sqrt {d/a}}.}$ На полярной оси расположено бесконечно много двойных точек, они находятся на расстояниях ${\displaystyle \rho =\alpha k^{2}\pi ^{2}-d}$ (где ${\displaystyle k=1,2,3,...}$) от центра.

Уравнение криволинейных абсцисс: ${\displaystyle ds={\sqrt {a^{2}+2b(a+2b)\theta ^{2}+b^{2}\theta ^{4}d\theta }}}$[1]

Названа в честь Г. Галилея в связи с его работами по теории свободного падения тел. Действительно, если учитывать вращение Земли, то траектория камня, падающего с башни — это спираль Галилея.