Арка

1. Замковый камень — клинообразный или пирамидальный элемент кладки в вершине свода или арки
2. Клинчатый камень
3. Внешняя поверхность свода (экстрадос)
4. Пятовый камень (импост) — поперечное сечение около опоры, пята арки
5. Внутренний свод (интрадос)
6. Стрела подъёма — расстояние центра замкового камня арки от линии, которая соединяет центры двух пятовых камней арки
7. Пролёт
8. Опорная стена

Расстояние между центрами пят называется расчётной проймой. При увеличении стрелы подъёма уменьшается распор арки. Ось арки подбирают так, чтобы сжатие на изгиб было минимальным; тогда арка будет наиболее крепкой и стойкой. Крепость арки зависит от её формы. Простейшие арки имеют форму полукруга, однако теоретически наиболее крепкими являются арки с формой параболы или цепной линии. Параболические арки впервые использовал испанский архитектор Антонио Гауди. Такие арки передают весь распор на опорную стену и не требуют дополнительных элементов.

Кирпичная кладка стен во дворце Августов. Древний Рим. Использованы разгрузочные арки.

Арки, перекрывающие несквозной проем, называются слепыми. Одной из целей этого является увеличение прочности стены при экономии материала. В древности известен приём, когда арка делалась для облегчения, например, когда перекрытие проёма в стене было выполнено в виде плоской арки, для разгрузки которой над нею делалась слепая арка.

В основе расчёта арочных конструкций лежит расчёт кривого стержня, элемента отличного от прямой балки, у него ось представляет собой тот или иной тип кривой линии (ось — линия, проходящая через центры тяжести поперечных сечений элемента). С допустимым приближением касательные напряжения от поперечной силы для кривых стержней можно определять по той же формуле Журавского, что и для прямых балок[4]:

${\displaystyle \tau ={\frac {QS(z)}{J_{x}b}}}$,

где

• ${\displaystyle Q=Q(y)}$ — поперечная сила, действующая на балку (${\displaystyle y}$ — продольная координата),
• ${\displaystyle S(z)}$ — статический момент отсеченной площади сечения на расстоянии ${\displaystyle z}$ относительно нейтральной оси,
• ${\displaystyle J_{x}}$ — момент инерции всего сечения элемента относительно центральной оси ${\displaystyle x}$, перпендикулярной плоскости арки,
• ${\displaystyle b}$ — ширина сечения элемента на расстоянии ${\displaystyle z}$ от нейтральной оси.

Соответственно, условие прочности по касательным напряжениям для кривых стержней будет представляться следующим образом[4]:

${\displaystyle \tau _{max}={\frac {Q_{max}S_{max}}{Jb}}\leq |\tau |}$.

Напряжения в кривом стержне, вызываемые нормальной силой, нормальны к сечению и равномерно распределены по его площади, то есть[4]:

${\displaystyle \sigma ={\frac {N}{F}}}$,

где

• ${\displaystyle N}$ — нормальная сила, действующая на элемент
• ${\displaystyle F}$ — площадь сечения элемента.

Гиперболический закон распределения нормальных напряжений в криволинейном стержне от действия момента

Изгибающий момент, как и в прямой балке, вызывает в кривом стержне только нормальные напряжения. Распределение их по высоте сечения определяется следующей формулой[4]:

${\displaystyle \sigma ={\frac {z}{\rho }}{\frac {\delta d\varphi }{d\varphi }}E}$,

где

• ${\displaystyle z}$ — расстояние от нейтральной оси до точки, где определяется напряжение
• ${\displaystyle \rho }$ — радиус кривизны в точке
• ${\displaystyle \delta d\varphi }$ — величина изменения угла между смежными сечениями под действием момента
• ${\displaystyle d\varphi }$ — начальный угол между сечениями
• ${\displaystyle E}$ — Модуль Юнга.

Получается, что в отличие от прямой балки, где напряжения распределяются по линейному закону, в криволинейном стержне нормальные напряжения от момента распределяются по гиперболическому закону. Из этого следует несколько важных выводов, а именно: при изгибе кривого стержня нейтральная ось не проходит через центр тяжести сечения; напряжения в наружных волокнах элемента меньше, чем при таком же изгибе прямой балки, а во внутренних волокнах — больше; рост напряжений по высоте сечения происходит с разной скоростью. Наибольшей величины напряжения достигают с внутренней стороны. Однако они достаточно быстро убывают по глубине. Если конструкция работает в статическом режиме и сделана из пластичных материалов, не подверженных хрупкому разрушению, то перенапряжения на самом краю сечения с внутренней стороны могут не представлять опасности[4].

Формула нормальных напряжений от момента будет иметь вид[4]:

${\displaystyle \sigma ={\frac {M}{S}}\cdot {\frac {z}{\rho }}}$,

а формула полных нормальных напряжений в кривом стержне[4]:

${\displaystyle \sigma ={\frac {N}{F}}+{\frac {M}{S}}\cdot {\frac {z}{\rho }}}$.

Радиус кривизны нейтрального слоя определяется из уравнения[4]:

${\displaystyle r={\frac {F}{\int \limits _{F}{\frac {dF}{\rho }}}}}$.

Из формул следует, что чем меньше отношение радиуса кривизны стержня к высоте его сечения, тем больше работа кривого стержня отличается от работы прямой балки. Когда же радиус оси намного превосходит размеры сечения, работа кривого стержня похожа на работу прямой балки и нормальные напряжения в этих случаях будут почти равны. Чаще всего арки в строительных конструкциях относятся ко второй категории кривых стержней. К первой же можно отнести разнообразные криволинейные детали: крюки, звенья цепей, колец и пр[4].

Деформации, возникающие в кривых стержнях, в общем случае определяются следующими выражениями[4]:

${\displaystyle {\begin{matrix}f=\int \limits _{S}{\frac {MdS}{EJ}}\cdot {\frac {\delta M}{\delta P}}+\int \limits _{S}{\frac {NdS}{EF}}\cdot {\frac {\delta N}{\delta P}}\\\theta =\int \limits _{S}{\frac {MdS}{EJ}}\cdot {\frac {\delta M}{\delta M_{0}}}+\int \limits _{S}{\frac {NdS}{EF}}\cdot {\frac {\delta N}{\delta M_{0}}}\end{matrix}}{\Bigg \}}}$

где

• ${\displaystyle f}$ — линейное перемещение центра тяжести сечения
• ${\displaystyle \theta }$ — угол поворота сечения.

В большинстве случаев, однако, влиянием кривизны для определения деформаций можно пренебречь[4].

Очертание оси арки может быть самым разнообразным, но чаще встречаются следующие виды:

Очертания осей арок

Циркульная (круговая)

Параболическая

Коробовая

Треугольная

«Ползучая»

Наиболее распространёнными являются следующие типы расчётных схем арок[5]:

Типы арок по статической работе

Трёхшарнирная арка

Двухшарнирная арка

Бесшарнирная арка

Каждый из типов имеет свои преимущества и недостатки, и выбор той или иной конструкции определяется инженером-проектировщиком исходя как из прочностных требований, так и из необходимости применения тех или иных материалов для арки, архитектурных задач, стоимости и местных условий строительства. Так, например, трёхшарнирная арка является статически определимой системой, в силу чего подобная конструкция не так чувствительна к температурным воздействиям и осадкам опор. Также трёхшарнирные арочные конструкции удобны с точки зрения монтажных работ и транспортировки, так как состоят из двух отдельных частей. Однако наличие дополнительного шарнира приводит к большой разнице моментов по длине обеих частей, что, соответственно, требует дополнительного расхода материала. Противоположна ей в этом плане бесшарнирная арка, которая благодаря защемлению пят арок в опорах имеет наиболее благоприятное распределение моментов по длине и может быть изготовлена с минимальными сечениями. Но защемление в опорах, в свою очередь, приводит к необходимости устройства более мощных фундаментов, арка чувствительная как к перемещениям опор, так и к температурным напряжениям. Наибольшее распространение получила двухшарнирная арка. Являясь единожды статически неопределимой системой, она также имеет хорошее распределение моментов по длине и избавлена от необходимости устройства массивных опор[5].

Схема определения усилий в арке

При использовании арок в качестве перекрытий, они рассчитываются в общем случае на равномерно распределённую нагрузку (нагрузка от вышележащих конструкций перекрытий, снеговая нагрузка, нагрузка от собственного веса арки). В ходе расчёта строятся эпюры усилий, возникающих в сечениях арки, по которым определяются наиболее опасные сечения. Формулы для определения усилий в каком-либо сечении арки следующие[5]:

1. Изгибающий момент

${\displaystyle M_{x}=M_{x}=M_{o}p+{M_{x}}^{b}-F_{h}y}$,

где

• ${\displaystyle M_{op}}$ — опорный момент в бесшарнирной арке (в двух- или трёхшарнирной арке он равен нулю)
• ${\displaystyle {M_{x}}^{b}}$ — балочный момент
• ${\displaystyle F_{h}}$ — распор
• ${\displaystyle x,y}$ — координаты сечения.

Распор определяется из выражения[5]:

${\displaystyle F_{h}=k{M_{c}}^{b}/f}$,

где

• ${\displaystyle {M_{c}}^{b}}$ — балочный момент в середине пролёта
• ${\displaystyle f}$ — стрела подъёма арки
• ${\displaystyle k}$ — коэффициент, учитывающий геометрические и физические характеристики арки.

2. Продольная сила

${\displaystyle N_{x}=-{Q_{x}}^{b}\sin \varphi -F_{h}\cos \varphi }$,

где

• ${\displaystyle {Q_{x}}^{b}}$ — балочная поперечная сила
• ${\displaystyle \varphi }$ — угол между касательной к оси арки в рассматриваемой сечении и горизонталью.

3. Поперечная сила

${\displaystyle Q_{x}={Q_{x}}^{b}\cos \varphi -F_{h}\sin \varphi }$.

Полуциркульная (полукруглая) арка — арка, имеющая форму полуокружности, центр которой расположен на уровне пят арки.

Простейший и наиболее распространённый тип арки. Присутствует в зодчестве разных эпох, стран и стилей. Наиболее характерна для классической архитектуры, где она чаще всего бывает обрамлена архивольтом (от лат. arcus volutus — «обрамляющая дуга») или выделена рядом клинчатых камней с замковым камнем посередине. Обычно опирается на пилоны.

Лучковая арка — арка, имеющая форму дуги примерно в четверть окружности. В Древнем Риме арки такой формы служили перемычкой оконных проемов в жилых зданиях. Типичным примером применения лучковой арки является сегментный арочный мост.

На Востоке полукруглая арка претерпела наиболее сильную трансформацию, превратившись в так называемую стрельчатую, или ломаную арку, дуги которой пересекаются под углом.

По форме различают несколько видов стрельчатых арок:

• равносторонние арки, центры дуг которых находятся в пятах арок;
• сжатые арки, центры дуг которых находятся на горизонтальной линии, проходящей через пяты арок;
• плоские арки, центры дуг которых находятся ниже пят арок.