Цепная линия

Натяжение цепной линии. Каждая кривая соответствует разному значению горизонтальной составляющей силы натяжения ${\displaystyle T_{H}.}$ Параметр ${\displaystyle a={\frac {T_{H}}{\lambda H}},}$ где ${\displaystyle \lambda }$ — погонная плотность нити

• Мыльная плёнка, натянутая на два параллельных кольца, не обязательно равных диаметров, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии.
• Длина дуги от вершины до произвольной точки ${\displaystyle (x,~y)}$:

  ${\displaystyle s=a\operatorname {sh} {\frac {x}{a}}={\sqrt {y^{2}-a^{2}}}.}$

• Радиус кривизны:

  ${\displaystyle R=a\operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{a}}={\frac {y^{2}}{a}}.}$

• Площадь, ограниченная цепной линией, двумя её ординатами и осью абсцисс:

  ${\displaystyle S=a^{2}\left(\operatorname {sh} {\frac {x_{2}}{a}}-\operatorname {sh} {\frac {x_{1}}{a}}\right)=a\left({\sqrt {y_{2}^{2}-a^{2}}}-{\sqrt {y_{1}^{2}-a^{2}}}\right).}$

• Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть цепная линия[1].
• Центр тяжести цепной линии — самый низкий из всех форм нитей равной длины, соединяющих две опоры, т. е. имеет минимум потенциальной энергии[2].

Уравнение цепной линии практически одновременно получено Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли[6].

На арке «Ворота Запада» в Сент-Луисе написана математическая формула её цепной линии, выраженная в футах[7]:

${\displaystyle y=-127{,}7'\cdot \operatorname {ch} (x/127{,}7')+757{,}7'.}$

Выраженное в метрах, это уравнение будет ${\displaystyle y=-38{,}92\cdot \operatorname {ch} (x/38{,}92)+230{,}95.}$

• Люстерник Л. А. Кратчайшие линии. Вариационные задачи. — М.—Л.: Гостехиздат, 1955. — (Популярные лекции по математике).
• Меркин Д. Р. Введение в механику гибкой нити. — М.: Наука, 1980. — 240 с.