Верзьера Аньези

Координаты точки ${\displaystyle M}$, лежащей на верзьере — это ${\displaystyle x=BM}$, ${\displaystyle y=OB}$. ${\displaystyle OA=a}$ и по определению строим пропорцию

${\displaystyle \textstyle {\frac {x}{BC}}={\frac {a}{y}}}$

Отсюда

${\displaystyle \textstyle BC={\frac {xy}{a}}}$

С другой стороны ${\displaystyle BC}$ может быть найден из уравнения окружности:

${\displaystyle \textstyle \left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}}$

Нам известен ${\displaystyle y=OB}$, значит выражаем ${\displaystyle x^{2}}$:

${\displaystyle \textstyle x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}}$

Приравниваем оба выражения для ${\displaystyle BC}$:

${\displaystyle \textstyle {\frac {x^{2}y^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}}$

Возводим в квадрат, переносим и выносим ${\displaystyle y^{2}}$ за скобки:

${\displaystyle \textstyle \left({\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1\right)y^{2}=ay}$

Выражаем y (y=0 не подходит по определению):

${\displaystyle \textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}}$

Если ${\displaystyle a}$ — это не диаметр, а радиус окружности, то уравнение такое:

${\displaystyle \textstyle y={\frac {8a^{3}}{4a^{2}+x^{2}}}}$

Координаты точки ${\displaystyle M}$ однозначно определяются углом ${\displaystyle \varphi }$ между ${\displaystyle OB}$ и ${\displaystyle OC}$. Если ${\displaystyle OB=y}$, а ${\displaystyle BM=x}$, то по определению верзьеры можно составить пропорцию

${\displaystyle \textstyle {\frac {OA}{y}}={\frac {x}{BC}}}$

${\displaystyle OA}$ по предположению равен ${\displaystyle a}$. Из треугольника ${\displaystyle OBC}$: ${\displaystyle BC=y\,\operatorname {tg} \,\varphi }$, значит

${\displaystyle \textstyle {\frac {a}{y}}={\frac {x}{y\,\operatorname {tg} \,\varphi }}}$

отсюда ${\displaystyle x=a\,\operatorname {tg} \,\varphi }$. Эту формулу подставляем в уравнение кривой:

${\displaystyle \textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+a^{2}\,\operatorname {tg} ^{2}\,\varphi }}}$

${\displaystyle \textstyle y={\frac {a}{1+\,\operatorname {tg} ^{2}\,\varphi }}}$

Используя тождество, получаем

${\displaystyle y=a\cos ^{2}\varphi }$