Треугольник Серпинского

Построение треугольника Серпинского

Мозаичный пол в стиле косматеско в Кафедральном соборе Св. Марии в Ананьи

Середины сторон равностороннего треугольника ${\displaystyle T_{0}}$ соединяются отрезками. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность срединного треугольника. Получается множество ${\displaystyle T_{1}}$, состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество ${\displaystyle T_{2}}$, состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность ${\displaystyle T_{0}\supset T_{1}\supset \dots \supset T_{n}\supset \dots }$, пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.

1. Задаются координаты аттракторов — вершин исходного треугольника ${\displaystyle T_{0}}$.

2. Вероятностное пространство ${\displaystyle (0;1)}$ разбивается на 3 равных части, каждая из которых соответствует одному аттрактору.

3. Задаётся некоторая произвольная начальная точка ${\displaystyle P_{0}}$.

4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству треугольника Серпинского.

1. Генерируется случайное число ${\displaystyle n\in (0;1)}$.

2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.

3. Строится точка ${\displaystyle P_{i}}$ с новыми координатами: ${\displaystyle x_{i}={\frac {x_{i-1}+x_{A}}{2}};y_{i}={\frac {y_{i-1}+y_{A}}{2}}}$, где:

${\displaystyle x_{i-1},y_{i-1}}$ — координаты предыдущей точки ${\displaystyle P_{i-1}}$; ${\displaystyle x_{A},y_{A}}$ — координаты активной точки-аттрактора.

5. Возврат к началу цикла.

Это нерекурсивный метод построения

Картинка, генерируемая кодом на JavaScript

var k=Math.sqrt(3)/2; var S=16; var H=512; var W=Math.floor(H/k);
document.body.innerHTML=('<canvas id="C" width="'+W+'" height="'+H+'"></canvas>');
var canvas = document.getElementById('C');
var ctx = canvas.getContext('2d');
ctx.fillRect(0, 0, W, H);
for(var x = 0;x<=Math.floor(W/2);x++) {
  for(var y = 0;y<H;y++) {
    var A = y;          var a = A%S;
    var B = y/2+x*k;    var b = B%S;
    var C = y/2-x*k;    var c = C%S;
    if(a>b&&C>0&&B>0) {
      if ((B/S)&(C/S)) ctx.fillStyle='#ff0';
      else ctx.fillStyle='#000';
    } else if(a<b&&C>0&&B>0) {
      ctx.fillStyle='#0f8';
    } else ctx.fillStyle='#fff';
    ctx.fillRect(Math.floor(W/2)-x, y, 1, 1);
    if (x!=0) ctx.fillRect(Math.floor(W/2)+x, y, 1, 1);
  }
}