Размерность Хаусдорфа

Пусть ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Не более чем счётный набор ${\displaystyle \{\omega _{i}\}_{i\in I}}$ подмножеств пространства ${\displaystyle X}$ будем называть ${\displaystyle \varepsilon }$-покрытием множества ${\displaystyle \Omega }$, если выполнены следующие два свойства:

• ${\displaystyle \Omega \subset \bigcup _{i\in I}\omega _{i}}$
• для любого ${\displaystyle i\in I}$: ${\displaystyle |\omega _{i}|<\varepsilon }$ (здесь и далее ${\displaystyle |\omega |}$ означает диаметр множества ${\displaystyle \omega }$).

Пусть ${\displaystyle \alpha >0}$. Пусть ${\displaystyle \Theta =\{\omega _{i}\}_{i\in I}}$ — покрытие множества ${\displaystyle \Omega }$. Определим следующую функцию, в некотором смысле показывающую «размер» этого покрытия: ${\displaystyle F_{\alpha }(\Theta ):=\sum \limits _{i\in I}|\omega _{i}|^{\alpha }}$.

Обозначим через ${\displaystyle M_{\alpha }^{\varepsilon }(\Omega )}$ «минимальный размер» ${\displaystyle {\varepsilon }}$-покрытия множества ${\displaystyle \Omega }$: ${\displaystyle M_{\alpha }^{\varepsilon }(\Omega ):=\inf(F_{\alpha }(\Theta ))}$, где инфимум берётся по всем ${\displaystyle \varepsilon }$-покрытиям множества ${\displaystyle \Omega }$.

Очевидно, что функция ${\displaystyle M_{\alpha }^{\varepsilon }(\Omega )}$ (нестрого) возрастает при уменьшении ${\displaystyle \varepsilon }$, поскольку при уменьшении ${\displaystyle \varepsilon }$ мы только сжимаем множество возможных ${\displaystyle \varepsilon }$-покрытий. Следовательно, у неё есть конечный или бесконечный предел при ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0+}$:

${\displaystyle M_{\alpha }(\Omega )=\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0+}M_{\alpha }^{\varepsilon }(\Omega )}$.

Величина ${\displaystyle M_{\alpha }(\Omega )}$ называется ${\displaystyle \alpha }$-мерой Хаусдорфа множества ${\displaystyle \Omega }$.

• ${\displaystyle \alpha }$-мера Хаусдорфа является борелевской мерой на ${\displaystyle X}$.
• с точностью до умножения на коэффициент: 1-мера Хаусдорфа для гладких кривых совпадает с их длиной; 2-мера Хаусдорфа для гладких поверхностей совпадает с их площадью; ${\displaystyle d}$-мера Хаусдорфа множеств в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ совпадает с их ${\displaystyle d}$-мерным объёмом.
• ${\displaystyle M_{\alpha }(\Omega )}$ убывает по ${\displaystyle \alpha }$. Более того, для любого множества ${\displaystyle \Omega }$ существует[1][2][3] критическое значение ${\displaystyle \alpha _{0}}$, такое, что:
  • ${\displaystyle M_{\alpha }(\Omega )=+\infty }$ для всех ${\displaystyle \alpha <\alpha _{0}}$
  • ${\displaystyle M_{\alpha }(\Omega )=0}$ для всех ${\displaystyle \alpha >\alpha _{0}}$

Значение ${\displaystyle M_{\alpha _{0}}(\Omega )}$ может быть нулевым, конечным положительным или бесконечным.

Размерностью Хаусдорфа ${\displaystyle \dim _{H}\Omega }$ множества ${\displaystyle \Omega }$ называется число ${\displaystyle \alpha _{0}}$ из предыдущего пункта.