Проективное пространство

Проекти́вное простра́нство над полем $K$ — пространство, состоящее из прямых (одномерных подпространств) некоторого линейного пространства $L(K)$ над данным полем. Прямые пространства $L(K)$ называются точками проективного пространства. Это определение поддаётся обобщению на произвольное тело $K.$ В случае, когда поле $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$ , соответствующее проективное пространство называется вещественным или комплексным соответственно.

Если $L$ имеет размерность $n+1$ , то размерностью проективного пространства называется число $n$ , а само проективное пространство обозначается $KP^{n}$ и называется ассоциированным с $L$ (чтобы это указать, принято обозначение $P(L)$ ).

Переход от векторного пространства $L(K)$ размерности $n+1$ к соответствующему проективному пространству $KP^{n}$ называется проективизацией пространства $L(K)$ .

Точки $KP^{n}$ можно описывать с помощью однородных координат.

Определение как факторпространства

Отождествляя точки $(x_{0},\ldots ,x_{n})\sim (\lambda x_{0},\ldots ,\lambda x_{n})$ , где $\lambda$ отлично от нуля, мы получим фактормножество (по отношению эквивалентности $\sim$ )

\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} ):=(\mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{\mathbf {0} \})/{\sim }

.

Точки проективного пространства обозначаются как $[x_{0}:\ldots :x_{n}]$ , где числа $x_{i}$ называются однородными координатами[1]. Например, $[1:2:3]$ и $[2:4:6]$ обозначают одну и ту же точку проективного пространства.

Аксиоматическое определение

Проективное пространство может быть также определено системой аксиом типа гильбертовской. В этом случае проективное пространство определяется как система, состоящая из множества точек $P$ , множества прямых $L$ и отношения инцидентности $I$ , которое обычно выражается словами «точка лежит на прямой», удовлетворяющая следующим аксиомам:

Для любых двух различных точек существует единственная прямая, инцидентная обеим точкам;
Каждая прямая инцидентна не менее чем трём точкам;
Если прямые $L$ и $M$ пересекаются (имеют общую инцидентную точку), точки $p$ и $q$ лежат на прямой $L$ , а точки $s$ и $r$ — на прямой $M$ , то прямые $ps$ и $qr$ пересекаются.

Подпространством проективного пространства называется подмножество $T$ множества $P$ , такое что для любых $p,q\in P$ из этого подмножества все точки прямой $pq$ принадлежат $T$ . Размерностью проективного пространства $P$ называется наибольшее число $n$ , такое что существует строго возрастающая цепочка подпространств вида

\varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P

.

Классификация

Размерность 0: пространство состоит из единственной точки.
Размерность 1 (проективная прямая): произвольное непустое множество точек и единственная прямая, на которой лежат все эти точки.
Размерность 2 (проективная плоскость): в этом случае классификация является более сложной. Все плоскости вида $KP^{n}$ для некоторого тела $K$ удовлетворяют аксиоме Дезарга, однако существуют также недезарговы плоскости.
Большие размерности: согласно теореме Веблена — Юнга,[2] любое проективное пространство размерности более двух может быть получено как проективизация модуля над некоторым телом.

Связанные определения и свойства

Пусть $M$ есть гиперплоскость в линейном пространстве $L$ . Проективное пространство $P(M)\subset P(L)$ называется проективной гиперплоскостью в $P(L)$ .
На дополнении проективной гиперплоскости $A=P(L)\backslash P(M)$ существует естественная структура аффинного пространства.
Обратно, взяв за основу аффинное пространство $A$ , можно получить проективное пространство как аффинное, к которому добавлены т. н. бесконечно удалённые точки. Первоначально проективное пространство и было введено таким образом.
Пусть $P(L')$ и $P(L'')$ ― два проективных подпространства. Множество $P(L'+L'')$ называется проективной оболочкой множества $P(L')\cup P(L'')$ и обозначается $P(L'+L'')={\overline {P(L')\cup P(L'')}}$ .[3]

Тавтологическое расслоение

Тавтологическим расслоением $\gamma ^{n}\colon E\to \mathbb {R} P^{n}$ называется векторное расслоение, пространством расслоения которого является подмножество прямого произведения $\mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}$

E(\gamma ^{n}):={\big \{}(\{\pm x\},v)\in \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}:v=\lambda x,\;\lambda \in \mathbb {R} {\big \}}

,

а слоем — вещественная прямая $\mathbb {R}$ . Каноническая проекция $\gamma ^{n}$ отображает прямую, проходящую через точки $\pm x\in \mathbb {R} ^{n+1}$ , в соответствующую точку проективного пространства. При $n\geqslant 1$ это расслоение не является тривиальным. При $n=1$ пространством расслоения является лента Мёбиуса.

Примечания

Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, ч. 3, пар. 6, М.: Наука 1986
Veblen, Oswald; Young, John Wesley. Projective geometry. Vols. 1, 2, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. New York-Toronto-London, 1965 (Reprint of 1910 edition)
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл. 9, пар. 1, — Физматлит, Москва, 2009.

Литература

Артин Э. Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: Наука 1986.
Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
Фиников С. П. Аналитическая геометрия: Курс лекций. — УРСС, Москва, 2008.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, ч. 3, пар. 6, М.: Наука 1986

[2] Veblen, Oswald; Young, John Wesley. Projective geometry. Vols. 1, 2, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. New York-Toronto-London, 1965 (Reprint of 1910 edition)

[3] Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, гл. 9, пар. 1, — Физматлит, Москва, 2009.

Размерность пространства
Пространства по размерности	Нульмерное Одномерное Двумерное Трёхмерное Четырёхмерное Пятимерное Шестимерное Семимерное Восьмимерное Девятимерное n-мерное Отрицательной размерности
Политопы и фигуры	Симплекс Гиперкуб Тессеракт Гиперпрямоугольник (ортотоп) Полугиперкуб Кросс-политоп Гиперсфера
Виды пространств	Конечномерное пространство Евклидово пространство Аффинное пространство Проективное пространство Свободный модуль Многообразие Размерность алгебраической переменной Пространство-время
Другие концепции размерностей	Размерность Крулля Размерность Лебега Индуктивная размерность Дробная размерность (размерность Минковского, размерность Хаусдорфа) Фрактальная размерность Степени свободы
Математика