Лента Мёбиуса

Параметрическое описание листа Мёбиуса

Чтобы превратить квадрат в лист Мёбиуса, соедините края, помеченные буквой A, так, чтобы направления стрелок совпали

Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ является параметризация:

${\displaystyle x\left(u,v\right)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u,}$

${\displaystyle y\left(u,v\right)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u,}$

${\displaystyle z\left(u,v\right)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}},}$

где ${\displaystyle 0\leqslant u<2\pi }$ и ${\displaystyle -1\leqslant v\leqslant 1}$. Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чья центральная окружность имеет радиус 1, лежит в плоскости ${\displaystyle xy}$ с центром в ${\displaystyle \left(0,\;0,\;0\right)}$. Параметр ${\displaystyle u}$ пробегает вдоль ленты, а ${\displaystyle v}$ задает расстояние от края.

В цилиндрических координатах ${\displaystyle \left(r,\;\theta ,\;z\right)}$ неограниченная версия листа Мёбиуса может быть представлена уравнением:

${\displaystyle \log r\sin {\frac {\theta }{2}}=z\cos {\frac {\theta }{2}},}$

где логарифм имеет произвольное основание.

• Граница листа Мёбиуса состоит из одной замкнутой кривой.
• Топологически лист Мёбиуса может быть определён как факторпространство квадрата ${\displaystyle \left[0,\;1\right]\times \left[0,\;1\right]}$ по отношению эквивалентности ${\displaystyle \left(x,\;0\right)\sim \left(1-x,\;1\right)}$ для ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 1}$.
• Лист Мёбиуса — это также пространство нетривиального расслоения над окружностью со слоем отрезок.
• Ленту Мёбиуса возможно поместить в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с границей, являющейся идеальной окружностью. Один из способов — применить стереографическую проекцию к бутылке Клейна, погруженной в трёхмерную сферу. Идея состоит в следующем: пусть ${\displaystyle C}$ будет единичным кругом в плоскости ${\displaystyle xy}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Соединив антиподные точки на ${\displaystyle C}$ (то есть точки под углами ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle \theta +\pi }$) дугой круга, получим, что для ${\displaystyle \theta }$ между ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle \pi /2}$ дуги лежат выше плоскости ${\displaystyle xy}$, а для других ${\displaystyle \theta }$ — ниже (причём в двух местах дуги лежат в плоскости ${\displaystyle xy}$).
  • Тем не менее любой диск, который приклеивается к граничной окружности, неизбежно пересечёт ленту Мёбиуса.
• Примером вложения листа Мебиуса в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ является поверхность, заданная уравнением

${\displaystyle z_{1}=\sin \eta \,e^{i\varphi }}$

${\displaystyle z_{2}=\cos \eta \,e^{i\varphi /2},}$

Здесь параметр ${\displaystyle \eta }$ изменяется от 0 до ${\displaystyle \pi }$. Границей этой поверхности является окружность ${\displaystyle z_{1}=0,|z_{2}|=1}$. При стереографической проекции получается вложение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с границей, в точности являющейся окружностью.

1. Каково минимальное ${\displaystyle k}$ такое, что из прямоугольника с меньшей стороной 1 и большей стороной k можно свернуть несамопересекающуюся ленту Мёбиуса (бумагу мять не разрешается)? Доказанная оценка снизу — ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$, сверху — ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$[3].
2. Существует ли формула, описывающая лист Мёбиуса, получающийся путём складывания плоского листа бумаги? Вышеуказанные формулы описывают поверхность, которую нельзя сложить из листа бумаги, так как она имеет отрицательную кривизну; спрашивается, можно ли аналогичным образом описать поверхность нулевой кривизны?[4]
   • Сложнее найти форму, которая при этом минимизирует упругую энергию изгиба. Решение этой задачи, впервые поставленной Садовским (M. Sadowsky) в 1930 году, было опубликовано в 2007 году[5]. Однако решение не описывается алгебраической формулой, и маловероятно, что такая формула вообще существует. Чтобы найти пространственную равновесную форму бумажной ленты Мёбиуса, необходимо решить краевую задачу для системы дифференциально-алгебраических уравнений.

Разрезание ленты Мёбиуса по линии, которая отстоит от краёв на треть ширины

• Если разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двусторонняя (закрученная на полный оборот) лента. Это свойство ленты Мёбиуса используется в старинном фокусе под названием «афганские ленты»[6] (англ. The Afghan Bands) с 1904 года[7], его также описывают Норберт Винер в книге I Am a Mathematician (1956)[8] и Мартин Гарднер в книге Mathematics, Magic and Mystery (1956), последний также утверждает, что самая ранняя ссылка на использование ленты Мёбиуса для фокусов относится к 1882 году[9]. Если получившуюся ленту разрезать вдоль посередине, получаются две такие ленты, намотанные друг на друга.
• Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более короткая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами[10].
• Другие комбинации лент могут быть получены из лент с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

Международный символ переработки представляет собой лист Мёбиуса

«Лента Мёбиуса» над входом в институт ЦЭМИ РАН (1976, архитектор Леонид Павлов, художники Э. А. Жаренова и В. К. Васильцов)

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — «Лист Мёбиуса II»[11], показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса является эмблемой серии научно-популярных книг «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена мрака». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (например, «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса».

В 1987 году советский джазовый пианист Леонид Чижик записал альбом «Лента Мёбиуса», в который вошла и одноимённая композиция.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде ленты Мёбиуса, будет работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид ленты Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Также над входом в институт ЦЭМИ РАН находится мозаичный горельеф «Лента Мёбиуса» работы архитектора Леонида Павлова[12] в соавторстве с художниками Э. А. Жареновой и В. К. Васильцовым (1976)[13].

Иногда считается, что лента Мёбиуса является прообразом символа бесконечности ${\displaystyle \infty }$, однако последний появился на два века раньше[14].

• Близкой односторонней поверхностью является бутылка Клейна. Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.
• Другое похожее многообразие — проективная плоскость. Если проколоть отверстие в проективной плоскости, тогда то, что останется, будет листом Мёбиуса. С другой стороны, если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет проективная плоскость.

• Бутылка Клейна
• Резистор Мёбиуса
• Лестница Мёбиуса

• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии.— М.: Наука, 1989.
• Гарднер М. Математические чудеса и тайны.— М.: Наука, 1978.