Трилистник (узел)

В теории узлов трилистник[1] — простейший нетривиальный узел. Трилистник можно получить, соединив 2 свободных конца обычного простого узла, в результате чего получаем заузленное кольцо. Как простейший узел, трилистник является фундаментальным объектом при изучении математической теории узлов, которая имеет многообразные приложения в топологии, геометрии, физике, химии и иллюзионизме.

Трилистник

Левосторонний трилистник
Обозначения
Конвея [3]
Александера–Бриггса 31
Даукера 4, 6, 2
Многочлены
Александера
Джонса
Кауфмана
Конвея
HOMFLY
Инварианты
Инвариант Арфа 1
Длина косы 3
Число нитей 2
Число мостов 2
Число плёнок 1
Число пересечений 3
Род 1
Число отрезков 6
Число туннелей 1
Число развязывания 1
Свойства
Простой, торический, альтернированный, кружевной, не срезанный, двусторонний, трёхцветный, скрученный, расслоенный
 Медиафайлы на Викискладе

Описания

Трилистник можно определить как кривую, которая получается из следующих параметрических уравнений:

(2,3)-торический узел является трилистником. Следующие параметрические уравнения задают (2,3)-торический узел на торе :

Трилистник с осевой симметрией порядка 2

Любая непрерывная деформация этой кривой также считается трилистником. В частности, любая изотопная трилистнику кривая также считается трилистником. Кроме того, зеркальное отражение трилистника также считается трилистником. В топологии и теории узлов трилистник обычно задаётся с помощью диаграммы.

В алгебраической геометрии трилистник можно получить как пересечение в C2 единичной 3-сферы S3 с комплексной плоской кривой нулей комплексного многочлена z2 + w3 (полукубическая парабола).

Левосторонний трилистник
Правосторонний трилистник

Если один конец ленты повернуть 3 раза, а затем склеить с другим концом, получим трилистник[2].

Симметрия

Трилистник хирален в том смысле, что трилистник отличается от своего собственного зеркального отражения. Два варианта трилистника известны как левосторонний и правосторонний. Невозможно путём деформации левосторонний вариант непрерывным образом перевести в правосторонний или наоборот, то есть, эти два трилистника не изотопны.

Хотя трилистник хирален, он обратим, что означает, что нет разницы в каком направлении трилистник обходится — по часовой стрелке или против.

Трилистник позволяет трёхцветную раскраску
Простой узел становится трилистником после соединения концов

Нетривиальность

Трилистник нетривиален, что означает, что невозможно «развязать» трилистник в трёхмерном пространстве без разрезания. С математической точки зрения это означает, что трилистник не изотопен тривиальному узлу. В частности, не существует последовательности движений Рейдемейстера, с помощью которых узел развязывается.

Доказательство этого требует построения инварианта узла, который отличен от инварианта тривиального узла. Простейший такой инвариант — трёхцветная раскраска — трилистник позволяет трёхцветную раскраску, а тривиальный узел — нет. Кроме того, любой основной многочлен узла трилистника отличается от многочлена тривиального узла, как и большинство других инвариантов.

Классификация

В теории узлов трилистник является первым нетривиальным узлом и единственным узлом с числом пересечений три. Он является простым и перечислен с под номером 31 в нотации Александера-Бриггса. Нотация Даукера для трилистника — 4 6 2, а нотация Конвея трилистника — [3].

Трилистник можно описать как (2,3)-торический узел. Можно получить этот узел путём замыкания косы σ13.

Трилистник является альтернированным узлом. Однако, он не является срезанным узлом, что означает, что он не ограничивает 2-мерный диск на 4-мерной сфере. Чтобы это показать, следует заметить, что его сигнатура ненулевая. Другое доказательство — многочлен Александера не удовлетворяет условию Фокса — Милнора.

Трилистник является расслоенный, что означает, что его дополнение в является локально тривиальным расслоением над окружностью . В модели трилистника как множества пар комплексных чисел, таких что и , это локально тривиальное расслоение имеет отображение Милнора в качестве расслоения, а тор с выколотой точкой в качестве поверхности расслоения.

Инварианты

Многочлен Александера трилистника есть

а многочлен Конвея[3]

Многочлен Джонса

а многочлен Кауфмана трилистника —

Группа узла трилистника задаётся представлением

или эквивалентно[4],

Эта группа изоморфна группе кос с тремя нитями.

Трилистники в религии и культуре

В качестве простейшего нетривиального узла, трилистник является частым мотивом в иконографии и изобразительном искусстве.

Присутствует на современных последних норвежских монетах Харальда Хардроде (1047—1066), для которых этот тройной узел стал наиболее типичным изображением, как правило, заполнявшим поле аверса.[5]

Присутствует на западноевропейских монетах, происходящих с каролингских монетных дворов и, особенно, из архиепископских мастерских в Андернахе, Кёльне, Гюи или Страсбурге (531), мотив тройного узла с большой долей вероятности можно считать исключительно символом Святой Троицы.[5]

Присутствет на дохристианских монетах в Йорке и Хедебю, и на надгробных камнях VIII—IX вв. на острове Готланд.[5]

См. также

Примечания

  1. Сосинский А.Б. Узлы. Хронология одной математической теории. — С. 15 — Москва: Бюро Квантум, 2009. — ISBN 978-5-85843-090-2
  2. Shaw, 1933, с. 11.
  3. 3_1, The Knot Atlas.
  4. Weisstein, Eric W. Trefoil Knot (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Accessed: May 5, 2013.
  5. Керсновский Р. Монета в культуре Средних веков. — пер. с польск. и коммент. канд. ист. наук. Т.Ю. Стукаловой — С. 414 — Москва: 2018 — ISBN: 978-5-89076-320-4

Литература

  • George Russell Shaw. Knots: Useful & Ornamental. — 1933. — ISBN 978-0-517-46000-9.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.