Группа узла
Группа узла — характеристика узла, определяемая как фундаментальная группа его дополнения.
Определение
Пусть есть узел. Тогда группа узла узла определяется как фундаментальная группа .[1].
Комментарий
По другим соглашениям узел рассматривается как вложение окружности в 3-сферу. В этом случае группу узла определяют как фундаментальную группу его дополнения в . Оба определения дают изоморфные группы.
Свойства
- Два эквивалентных узла имеют изоморфные группы узлов, так что группа узла является инвариантом узла и может быть использована для установления неэквивалентности пары узлов. Однако два неэквивалентных узла могут иметь изоморфные группы узлов (см. пример ниже).
- Абелизация группы узла всегда изоморфна бесконечной циклической группе . Это следует из того, что абелизация совпадает с первой группой гомологий, которую легко вычислить.
- Группу узлов (а также фундаментальную группу ориентированных зацеплений в общем случае) можно вычислить с помощью сравнительно простых алгоритмов, используя представление Виртингера.
Примеры
- Группа тривиального узла изоморфна .
- Обратное также верно.
- Группа трилистника изоморфна группе кос , эта группа имеет задание:
- или .
- Группа -торического узла обладает заданием:
- .
- Группа восьмёрки имеет задание:
- .
- Прямой узел и бабий узел имеют изоморфные группы узлов, но узлы эти не эквивалентны.
См. также
- Группа зацепления
Примечания
- Болтянский, 1982, с. 119.
Литература
- Узлов и зацеплений группы — статья из Математической энциклопедии
- Болтянский В.Г.,Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.