Теория кос

Коса из ${\displaystyle n}$ нитей — объект, состоящий из двух параллельных плоскостей ${\displaystyle P_{0}}$ и ${\displaystyle P_{1}}$ в трёхмерном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, содержащих упорядоченные множества точек ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in P_{0}}$ и ${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\in P_{1}}$, и из ${\displaystyle n}$ непересекающихся между собой простых дуг ${\displaystyle l_{1},l_{2},\dots ,l_{n}}$, пересекающих каждую параллельную плоскость ${\displaystyle P_{t}}$ между ${\displaystyle P_{0}}$ и ${\displaystyle P_{1}}$ однократно и соединяющих точки ${\displaystyle \{a_{i}\}}$ с точками ${\displaystyle \{b_{i}\}}$.

Обычно считается, что точки ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ лежат на прямой ${\displaystyle l_{0}}$ в ${\displaystyle P_{0}}$, а точки ${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}}$ на прямой ${\displaystyle l_{1}}$ в ${\displaystyle P_{1}}$, параллельной ${\displaystyle l_{0}}$, причем ${\displaystyle a_{i}}$ расположены под ${\displaystyle b_{i}}$ для каждого ${\displaystyle i}$.

Косы изображаются в проекции на плоскость, проходящую через ${\displaystyle l_{0}}$ и ${\displaystyle l_{1}}$, эта проекция может быть приведена в общее положение так, что имеется только конечное число двойных точек, попарно лежащих в разных уровнях, и пересечения трансверсальны.

Косы и узлы обобщаются понятием связки.

Во множестве всех кос с n нитями и с фиксированными ${\displaystyle P_{0},P_{1},\{a_{i}\},\{b_{i}\}}$ вводится отношение эквивалентности. Оно определяется гомеоморфизмами ${\displaystyle h:\Pi \to \Pi }$, где ${\displaystyle \Pi }$ — область между ${\displaystyle P_{0}}$ и ${\displaystyle P_{1}}$, тождественными на ${\displaystyle P_{0}\cup P_{1}}$. Косы ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ эквивалентны, если существует такой гомеоморфизм ${\displaystyle h}$, что ${\displaystyle h(\alpha )=\beta }$.

Классы эквивалентности, далее также называемые косами, образуют группу кос ${\displaystyle B(n)}$. Единичная коса — класс эквивалентности, содержащий косу из n параллельных отрезков. Коса ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$, обратная косе ${\displaystyle \alpha }$, определяется отражением в плоскости ${\displaystyle P_{1/2}}$

Нить косы соединяет ${\displaystyle a_{i}}$ с ${\displaystyle b_{j_{i}}}$ и определяет подстановку, элемент симметрической группы ${\displaystyle S_{n}}$. Если эта подстановка тождественна, то коса называется крашеной (или чистой) косой. Это отображение задаёт эпиморфизм ${\displaystyle B(n)}$ на группу ${\displaystyle S_{n}}$ перестановок n элементов, ядром которого является подгруппа ${\displaystyle K(n)}$, соответствующая всем чистым косам, так что имеется короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\to K(n)\to B(n)\to S_{n}\to 0}$

• Теория узлов

• Сосинский А., Косы и узлы. Квант № 2, 1989, стр. 6-14