Узел (математика)

Узел - гладкое подмногообразие трехмерной сферы ${\displaystyle S^{3},}$ гомеоморфное ${\displaystyle S^{1}.}$ Под ${\displaystyle S^{3}}$ понимается ориентированная трехмерная сфера, а ориентация окружности ${\displaystyle S^{1}}$ обычно несущественна.

Узел ${\displaystyle Y}$ называется срезанным, если существует двухмерный диск ${\displaystyle D\subset B^{4},}$ что ${\displaystyle Y=\partial D}$ (см. Граница (топология) и Расслоение на окружности).

Узлы ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}}$ являются кобордантными, если существует гладко вложенное в ${\displaystyle S^{3}\times I}$ кольцо, которое пересекает ${\displaystyle S\times \{t\}}$ по ${\displaystyle Y_{t}}$ (${\displaystyle t=0,1}$) (см. Семейство (математика)). Группа кобордизмов узлов ${\displaystyle K_{1}^{3}}$ - кобордантные ориентированные узлы с операцией связного суммирования. Рассмотрим ${\displaystyle K_{n}^{n+2}}$ сферы в сфере ${\displaystyle S^{n+2}.}$ Если ${\displaystyle n}$ четно, то ${\displaystyle K_{n}^{n+2}=0.}$

Трилистник, узел ${\displaystyle 3_{1}}$ является первым нетривиальным узлом и единственным узлом с числом пересечений три. Он является простым и перечислен с под номером 3₁ в нотации Александера-Бриггса. Нотация Даукера для трилистника — 4 6 2, а нотация Конвея трилистника — [3].

Трилистник нетривиален, что означает, что невозможно «развязать» трилистник в трёхмерном пространстве без разрезания. С математической точки зрения это означает, что трилистник не изотопен тривиальному узлу. В частности, не существует последовательности движений Рейдемейстера, с помощью которых узел развязывается.

Восьмёрка, четырёхкратный узел или узел Листинга, узел ${\displaystyle 4_{1}}$ ― один из простейших нетривиальных узлов. Восьмёрка обозначается символом ${\displaystyle 4_{1}}$. Впервые рассмотрен Листингом, учеником Гаусса, в 1847 году.

Трилистник хирален в том смысле, что трилистник отличается от своего собственного зеркального отражения. Два варианта трилистника известны как левосторонний и правосторонний. Невозможно путём деформации левосторонний вариант непрерывным образом перевести в правосторонний или наоборот. (То есть, эти два трилистника не изотопны.)

Также, можно показать, что трилистник (как правый, так и левый) неизотопен восьмёрке.

Пятилистник, известный также как узел ${\displaystyle 5_{1}}$ в обозначениях Александера и Бриггса, узел «Лапчатка» и печать Соломона, — это узел, для которого число пересечений (минимальное возможное число самопересечений на диаграмме — плоском рисунке — узла) равно пяти.

Для многокомпонентных узлов в верхнем индексе указывается количество компонентов: например, зацепление двух колец имеет символическую запись ${\displaystyle 2_{1}^{2}}$.

Это были примеры полиномиальных[2] узлов. Неполиномиальным узлом является дикий узел[3]

Пример дикого узла.

Ди́кий у́зел — узел ${\displaystyle L}$ в евклидовом пространстве ${\displaystyle E^{3}}$ такой, что не существует гомеоморфизма ${\displaystyle E^{3}}$ на себя, при котором ${\displaystyle L}$ переходит в замкнутую ломаную, состоящую из конечного числа отрезков.

Вложение (чаще — его образ) несвязной суммы ${\displaystyle \mu }$ экземпляров окружности в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ или ${\displaystyle S^{3}}$ называется зацеплением кратности ${\displaystyle \mu }$.

Зацепление кратности ${\displaystyle \mu =1}$ называется узлом.

Узлы, составляющие данное зацепление, называются его компонентами.

В теории узлов число пересечений узла — это наименьшее число пересечений на любой диаграмме узла. Число пересечений является инвариантом узла.

Например, тривиальный узел имеет нулевое число пересечений, число пересечений трилистника равно трём, а число пересечений восьмёрки равно четырём.

Теорема Гордона — Люкке утверждает, что дополнение узла (как топологического пространства) является «полным инвариантом» узла, в том смысле, что он отличает заданный узел от всех остальных с точностью до объемлющей изотопии и зеркального отражения. Среди инвариантов, связанных с дополнением узла, есть группа узла, которая является просто фундаментальной группой его дополнения.

• Simon Jonathan. Mathematical Approaches to Biomolecular Structure and Dynamics / Jill P. Mesirov, Klaus Schulten, De Witt Sumners. — 1996. — Т. 82. — (The IMA Volumes in Mathematics and its Applications). — doi:10.1007/978-1-4612-4066-2_4.
• P.G. Tait. Scientific papers. — Cambridge University Press, 1898. — Т. 1.
• C. A. Adams. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781.
• Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов / Пер. с англ. — Череповец: Меркурий-Пресс, 2000. — 348 с. — ISBN 5-1148-0112-0..
• Мантуров В. О. Теория узлов. — М.: РХД, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3..
• Мантуров В. О. Лекции по теории узлов и их инвариантов. — М.: Едиториал УРСС, 2001. — 204 с. — ISBN 5-8360-0287-8..
• Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей / Пер. с англ. — М.: Мир, 1971. — 127 с.
• Мандельбаум Р. Четырёхмерная топология / Пер. с англ. — М.: Мир, 1981. — 286 с.
• Hillman J. A. Alexander ideals of links B. — Hdlb. — N. Y., 1981.
• Джонс, Воган Ф. Р. Теория узлов и статистическая механика // Scientific American (издание на русском языке). — № 1. — 1991. — С. 44—50.
• Сосинский, А. Б. Узлы и косы. — М.: МЦНМО, 2001. — Т. 10. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-76-6..
• Статьи «Теория узлов в конце XX века» // Математическое просвещение. — № 3. — 1999.
• Мантуров В. О. Экскурс в теорию узлов // Сетевой образовательный журнал. — 2004. — Т. 8, № 1. — С. 122—127.
• H. Gruber. Estimates for the minimal crossing number. — 2003. — arXiv:math/0303273.
• Yuanan Diao. The additivity of crossing numbers // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2004. — Т. 13, вып. 7. — doi:10.1142/S0218216504003524.
• Marc Lackenby. The crossing number of composite knots // Journal of Topology. — 2009. — Т. 2, вып. 4. — doi:10.1112/jtopol/jtp028.
• Honda K. 3-dimensional methods in contact geometry. (англ.)
• Etnyre J. B. Legendrian and Transversal Knots. (англ.)
• Birman J.S. Braids, knots and contact structures. (англ.)
• Weisstein, Eric W. Knot Theory (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.