Многочлен Джонса

Для заданного ориентированного зацепления ${\displaystyle L}$ определяется вспомогательный многочлен:

${\displaystyle X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle }$,

где ${\displaystyle w(L)}$ — число закрученности диаграммы ${\displaystyle L}$, а ${\displaystyle \langle L\rangle }$ — скобка Кауффмана. Число закрученности определяется как разница между числом положительных перекрёстков ${\displaystyle L_{+}}$ и числом отрицательных перекрёстков ${\displaystyle L_{-}}$ и не является инвариантом узла: оно не сохраняется при преобразованиях Рейдемейстера I типа.

${\displaystyle X(L)}$ — инвариант узла, поскольку он инвариантен относительно всех трёх преобразований Рейдемейстера диаграммы ${\displaystyle L}$. Инвариантность относительно преобразований II и III типов следует из инвариантности скобки Кауффмана и числа закрученности относительно этих преобразований. Напротив, для преобразования I типа скобка Кауффмана умножается на ${\displaystyle -A^{\pm 3}}$, что в точности компенсируется изменением на +1 или −1 числа закрученности ${\displaystyle w(L)}$.

Многочлен Джонса определяется из ${\displaystyle X(L)}$ подстановкой:

${\displaystyle A=t^{-1/4}}$,

результирующее выражение является многочленом Лорана от переменной ${\displaystyle t^{1/2}}$.

Оригинальное определение Джонса использует операторную алгебру и понятие следа представления кос, возникшего в статистической механике (модель Поттса).

Теорема Александера утверждает, что любое зацепление ${\displaystyle L}$ является замыканием косы с ${\displaystyle n}$ нитями, в связи с этим можно определить представление ${\displaystyle \rho }$ группы кос ${\displaystyle B_{n}}$ с ${\displaystyle n}$ нитями на алгебре Темперли — Либа ${\displaystyle TL_{n}}$ с коэффициентами из ${\displaystyle \mathbb {Z} [A,A^{-1}]}$ и ${\displaystyle \delta =-A^{2}-A^{-2}}$. Стандартная образующая косы ${\displaystyle \sigma _{i}}$ равна ${\displaystyle A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1}$, где ${\displaystyle 1,e_{1},e_{2},...,e_{n-1}}$ — стандартные образующие алгебры Темперли — Либа. Для слова ${\displaystyle \sigma }$ косы ${\displaystyle L}$ вычисляется ${\displaystyle \sigma ^{n-1}tr\rho (\sigma )}$, где ${\displaystyle tr}$ — след Маркова, в результате получается ${\displaystyle \langle L\rangle }$, где ${\displaystyle \langle }$ ${\displaystyle \rangle }$ — скобочный полином.

Преимущество этого подхода состоит в том, что выбрав аналогичные представления в других алгебрах, таких как представление ${\displaystyle R}$-матриц, можно прийти к обобщениям инвариантов Джонса (например, таковым является[1] понятие ${\displaystyle k}$-параллельного полинома Джонса).

Многочлен Джонса однозначно задаётся тем, что он равен 1 на любой диаграмме тривиального узла, и следующим скейн-соотношением:

${\displaystyle (t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})}$,

где ${\displaystyle L_{+}}$, ${\displaystyle L_{-}}$, и ${\displaystyle L_{0}}$ — три ориентированных диаграммы зацепления, совпадающих везде, кроме малой области, где их поведение соответственно является положительным и отрицательным пересечениями и гладким проходом без общих точек:

Теория Черна — Саймонса описывает топологический порядок в состояниях дробного квантового эффекта Холла. С точки зрения математики теория Черна — Саймонса интересна тем, что позволяет вычислять инварианты узлов, такие как многочлен Джонса.

В 2000 году Михаил Хованов построил цепной комплекс для узлов и зацеплений и показал, что гомологии этого комплекса являются инвариантом узлов (гомологии Хованова). Эта теория гомологий является категорификацией многочлена Джонса, то есть многочлен Джонса является эйлеровой характеристикой для этой гомологии.

Многочлен Джонса обладает многими замечательными свойствами[2][3].

Для зацеплений с нечётным числом компонент (в частности, для узлов) все степени переменной ${\displaystyle t}$ в многочлене Джонса целые, а для зацеплений с чётным числом компонент — полуцелые.

Многочлен Джонса связной суммы узлов равен произведению полиномов Джонса слагаемых, то есть:

${\displaystyle V(L_{1}\#L_{2})=V(L_{1})V(L_{2})}$.

Многочлен Джонса несвязной суммы узлов равен:

${\displaystyle V(L_{1}\cup L_{2})=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L_{1})V(L_{2})}$.

Многочлен Джонса объединения зацепления ${\displaystyle L}$ и тривиального узла равен:

${\displaystyle V(L\cup O)=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L)}$.

Для ${\displaystyle L^{*_{k}}}$ — ориентированного зацепления, получаемого из заданного ориентированного зацепления ${\displaystyle L}$ заменой ориентации некоторой компоненты ${\displaystyle k}$ на противоположную, имеет место:

${\displaystyle V_{L^{*}}=t^{-3\cdot \lambda }\cdot V(L)}$,

где ${\displaystyle \lambda }$ — это коэффициент зацепления компоненты ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle L-k}$.

Многочлен Джонса не меняется при обращении узла, то есть при замене направления обхода на противоположное (смене ориентации).

Зеркально-симметричный образ зацепления имеет многочлен Джонса, получающийся заменой ${\displaystyle t}$ на ${\displaystyle t^{-1}}$ (свойство легко проверяется с использованием определения через скобку Кауффмана).

Если ${\displaystyle K}$ — узел, тогда:

${\displaystyle V_{K}(e^{2\pi i/3})=1}$.

Значение многочлена Джонса для зацепления ${\displaystyle L}$ с числом компонент зацепления ${\displaystyle p}$ в точке 1:

${\displaystyle V_{L}(1)=(-2)^{p-1}}$.

Многочлен Джонса ${\displaystyle (m,n)}$-торического узла:

${\displaystyle V(t)={\frac {t^{\frac {(m-1)\cdot (n-1)}{2}}\cdot (1-t^{m+1}-t^{n+1}+t^{m+n})}{1-t^{2}}}}$.

В 2003 году построено семейство нетривиальных зацеплений с многочленом Джонса равным многочлену Джонса тривиального зацепления[4], при этом неизвестно, существует ли нетривиальный узел, многочлен Джонса которого является таким же, как и у тривиального узла. В 2017 году построено семейство нетривиальных узлов ${\displaystyle K_{r}}$ с ${\displaystyle 20\cdot 2^{r-1}+1}$ пересечениями, для которых многочлен Джонса ${\displaystyle V(K_{r})}$ сравним с единицей по модулю ${\displaystyle 2^{r}}$[5].

• Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.