Нотация Конвея для узлов

Плетение (также связка или тангл, tangle)[1] — объект, состоящий из нескольких нитей, каким-либо образом расположенных в ограниченной области пространства, с концами на границе этой области; как и узел, плетение можно изобразить в виде диаграммы на плоскости. В нотации Конвея используются алгебраические 2-плетения. 2-плетение состоит из двух дуг, выходящих в 4 конца его диаграммы. «Алгебраические» означает, что они строятся с помощью операций из определённого набора, описанного ниже.

Простейшие алгебраические плетения — целые, которые состоят из нескольких идущих подряд одинаковых пересечений. Целые плетения обозначаются одним целым числом, обозначающим количество пересечений; знак числа зависит от типа этих пересечений. Если дуги не пересекаются, либо могут быть преобразованы в непересекающиеся дуги с помощью движений Рейдемейстера, то плетение обозначается 0 или ∞, в зависимости от его ориентации.

Если плетение a зеркально отразить относительно прямой северо-запад/юго-восток, полученное новое плетение обозначают как ⁻a (заметим, что это отличается от плетения с обращёнными пересечениями). Плетения имеют три бинарные операции: сумма, произведение и ветвление (ramification)[2], однако все они могут быть выражены операциями сложения и вычитания. Произведение плетений a b эквивалентно ⁻a+b, а ветвление a,b эквивалентно ⁻a+⁻b.

Несколько целых плетений, объединённых через ветвление, при замыкании внешних концов порождают кружевное зацепление.

Базовый многогранник в контексте нотации Конвея — это планарный граф без петель и кратных рёбер, каждая вершина которого имеет степень 4 (единственное исключение — базовый многогранник, именуемый 1^*, представляющий собой единственную вершину с двумя петлями). Узел или зацепление получается подстановкой алгебраических плетений в вершины базовых многогранников. Таким образом, можно получить все узлы и зацепления с числом пересечений вплоть до данного, если рассмотреть базовые многогранники с достаточным количеством вершин и алгебраические плетения с достаточным количеством пересечений. Базовых многогранников с небольшим количеством вершин сравнительно мало: например, из базовых многогранников с количеством вершин до 10, кроме 1^*, существует лишь по 1 многограннику с 6, 8 и 9 вершинами и 3 — с 10 вершинами (последовательность A078666 в OEIS).

Нотация Конвея требует, чтобы была определена нумерация вершин всех задействованных базовых многогранников и способ вставки плетений в эти вершины. Тогда запись узла или зацепления состоит из обозначения базового многогранника, за которым следуют обозначения алгебраических плетений, вставленных в его вершины, например: «8^*2.1.3.4.1.1.5.1». Конвей разработал систему сокращений для этой записи, с учётом которой приведённый пример превращается в «8^*2:3.4:.5».

Нотация Конвея неоднозначна в том смысле, что иногда можно изобразить узел или зацепление в виде двух различных диаграмм, имеющих минимальное количество пересечений каждая, но при этом записывающихся в нотации Конвея даже с различными базовыми многогранниками[3].