Гипотезы Тэйта

Сокращённая диаграмма — это такая, в которой удалены все перешейки.

Тэйт пришёл к своим гипотезам в конце XIX века после попыток свести в таблицу все узлы. Как у основателя теории узлов, его работа не обладала строгим математическим обоснованием, и не совсем понятно, распространял ли он свои гипотезы на все узлы, или только на альтернированные. Оказалось, что большинство из них верны только для альтернированных узлов[2]. В гипотезах Тэйта диаграмма узла называется «сокращённой», если все «перешейки» или «тривиальные перекрещивания» удалены.

Тэйт предположил, что при некоторых обстоятельствах число пересечений является инвариантом узла, в частности:

Любая сокращённая диаграмма альтернированного зацепления имеет наименьшее возможное число пересечений.

Другими словами, число пересечений сокращённого альтернированного зацепления является инвариантом узла. Эту гипотезу доказали Луис Кауфман, Кунио Мурасуги (村杉 邦男) и Морвен Б. Тистлетвэйт в 1987 году с помощью многочлена Джонса[3][4][5].

Геометрическое доказательство, не использующее многочлены узла, дал в 2017 году Джошуа Гриин[6].

Вторая гипотеза Тэйта:

Амфихаральное (или ахиральное) альтернированное зацепление имеет нулевое число закрученности.

Эту гипотезу также доказали Кауфман и Тистлетвэйт[3][7].

Перевёртывание

Гипотезу Тэйта о перевёртывании можно сформулировать так:

Если даны две сокращённые альтернированные диаграммы ${\displaystyle D_{1}}$ и ${\displaystyle D_{2}}$ ориентированного простого альтернированного зацепления, то диаграмма ${\displaystyle D_{1}}$ может быть преобразована в ${\displaystyle D_{2}}$ путём последовательности некоторого вида операций, называемых перевёртыванием[8]

Гипотезу Тэйта о перевёртывании доказали Тистлетвэйт и Уильям Менаско в 1991 году[9]. Из гипотезы Тэйта о перевёртывании вытекает несколько других гипотез Тэйта:

Любые две сокращённые диаграммы одного и того же альтернированного узла имеют одинаковое число закрученности.

Это следует из того, что перевёртывание сохраняет число закрученности. Этот факт доказали ранее Мурасуги и Тистлетвэйт[7][10]. Это также следует из работы Гриина[6]. Для неальтернированных узлов эта гипотеза не верна и пара Перко является контрпримером[2].

Из этого результата следует также следующая гипотеза:

Альтернированные амфихиральные узлы имеют чётное число пересечений[2].

Это следует из того, что зеркальный узел имеет противоположное число закрученности. Эта гипотеза снова верна только для альтернированных узлов — существует неальтернированный амфихиральный узел с числом пересечений 15[11].

• Простой узел

• Raymond W. B. R. An introduction to knot theory. — Springer-Verlag, New York. — 1997. — Т. 175. — С. 47. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-98254-0. — doi:10.1007/978-1-4612-0691-0.
• Louis Kauffman. State models and the Jones polynomial // Topology. — 1987. — Т. 26, вып. 3. — doi:10.1016/0040-9383(87)90009-7.
• Kunio Murasugi. Jones polynomials and classical conjectures in knot theory // Topology. — 1987. — Т. 26, вып. 2. — doi:10.1016/0040-9383(87)90058-9.
• Morwen Thistlethwaite. A spanning tree expansion of the Jones polynomial // Topology. — 1987. — Т. 26, вып. 3. — doi:10.1016/0040-9383(87)90003-6.
• Joshua Greene. Alternating links and definite surfaces // Duke Mathematical Journal. — 2017. — Т. 166, вып. 11. — doi:10.1215/00127094-2017-0004. — . — arXiv:1511.06329.
• William Menasco, Morwen Thistlethwaite. The Classification of Alternating Links // Annals of Mathematics. — 1993. — Т. 138, вып. 1. — doi:10.2307/2946636. — .
• Kunio Murasugi. Jones polynomials and classical conjectures in knot theory. II // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1987. — Т. 102, вып. 2. — doi:10.1017/S0305004100067335. — .
• Morwen Thistlethwaite. Kauffman's polynomial and alternating links // Topology. — 1988. — Т. 27, вып. 3. — doi:10.1016/0040-9383(88)90012-2.
• Alexander Stoimenow. Tait's conjectures and odd amphicheiral knots // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). — 2008. — Т. 45, № 2.