Коэффициент зацепления

Коэффициент зацепления — целое или дробное число, сопоставляемое двум непересекающимся циклам ${\displaystyle z^{k-1}}$ и ${\displaystyle z^{n-k}}$ в ориентируемом многообразии ${\displaystyle M}$ размерности ${\displaystyle n}$, классы гомологий которых принадлежат подгруппам кручения в целочисленных гомологиях ${\displaystyle H_{k-1}(M,\mathbb {Z} )}$ и ${\displaystyle H_{n-k}(M,\mathbb {Z} )}$ соответственно.

Простейшим примером является коэффициент зацепления двух непересекающихся замкнутых кривых ${\displaystyle L_{1},\ L_{2}}$ пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, он равен степени отображения ${\displaystyle \phi \colon L_{1}\times L_{2}\to S^{2}}$ определяемого как

${\displaystyle \phi (x,y)=(y-x)/|y-x|,\ x\in L_{1},\ y\in L_{2}}$.

Коэффициент зацепления не изменяется при непрерывных деформациях кривых, если в течение этой деформации кривые не пересекаются — то есть является инвариантом этого зацепления. Если натянуть на одну кривую ориентированную поверхность, то индекс пересечения будет равен числу точек пересечения первой кривой с этой поверхностью взятых с соответствующими знаками.

Аналогично определяется коэффициент зацепления в случае замкнутых ориентированных многообразий ${\displaystyle M^{k-1}}$ и ${\displaystyle M^{n-k}}$, расположенных в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

В общем случае коэффициент зацепления определяется через индекс пересечения следующим образом:

Если ${\displaystyle C^{k}}$ есть ${\displaystyle k}$-мерная цепь для которой ${\displaystyle \partial C^{k}=az^{k-1}}$, и ${\displaystyle b}$ есть индекс пересечения ${\displaystyle C^{k}}$ с ${\displaystyle z^{n-k}}$, то индекс зацепления равен ${\displaystyle b/a}$. Это число не зависит от выбора плёнки ${\displaystyle C^{k}}$.