Подгруппа кручения

Подгру́ппа круче́ния — это подгруппа, образуемая множеством элементов конечного порядка в абелевой группе. Подгруппа кручения абелевой группы ${\displaystyle A}$ обозначается ${\displaystyle \operatorname {Tor} \,A}$. Подгруппой p-кручения ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{p}\,A}$ называется множество всех элементов, порядок которых суть некоторая степень p. Подгруппы кручения и p-кручения группы определены однозначно. Любая конечнопорождённая абелева группа может быть разложена в прямую сумму вида

${\displaystyle A\cong \mathbb {Z} ^{n}\oplus \operatorname {Tor} \,A\simeq \mathbb {Z} ^{n}\oplus \bigoplus \limits _{i}\operatorname {Tor} _{p_{i}}\,A}$

где ${\displaystyle p_{i}}$ — простые числа. ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{p_{i}}\cong \mathbb {Z} _{p_{i}^{k_{i}}}^{+}}$. Компоненты ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{p_{i}}}$ являются примарными. Существует и другое разложение подгруппы кручения: ${\displaystyle \operatorname {Tor} \,A\cong \mathbb {Z} _{u_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{u_{r}}}$, где ${\displaystyle u_{1}\mid u_{2},...,u_{r-1}\mid u_{r}}$. Числа ${\displaystyle u_{i}}$ также определены однозначно и называются инвариантными множителями группы.